49、有界度小树宽图割宽的多项式时间算法

有界度小树宽图割宽的多项式时间算法

1. 引言

在图论和优化领域，许多优化问题可表述为布局或顶点排序问题。其中，计算图的割宽是一个著名问题，也被称为最小割线性排列问题，在VLSI设计、网络可靠性、自动图绘制和信息检索等方面有诸多应用。

割宽与图的其他参数，如路径宽、线性宽、带宽和修改带宽密切相关。简单来说，图 $G$ 的割宽是指存在一个顶点排序，使得排序中任意两个相邻顶点之间的“间隙”处，跨越该间隙的边最多为 $k$ 条时的最小 $k$ 值。然而，计算割宽是一个NP完全问题，即使输入限制为最大度为3的平面图，它仍然是NP完全的。不过，存在多项式时间近似算法，其比率为 $O(\log |V (G)| \log \log |V (G)|)$，当 $E(G) = \Theta(|V (G)|^2)$ 时，还有多项式时间近似方案。

目前，关于检测能在多项式时间内计算割宽的特殊图类的工作相对较少。之前有算法能在 $O(n(\log n)^{d - 2})$ 时间内计算最大度有界为 $d$ 的树的割宽，1983年Yannakakis将其改进为 $O(n \log n)$ 算法。除树之外，仅在超立方体和 $b$ 维 $c$ 元团等特殊情况下有多项式算法。现在，我们提出了一种针对有界度小树宽图割宽的多项式时间算法。

树宽和路径宽的概念在图论的许多领域中起着核心作用。大致来说，如果一个图可以通过将小图以树结构组合而成，即具有小宽度的树分解，那么该图的树宽较小（树宽至多为 $w$ 的图也称为部分 $w$ - 树）。许多图类，如树、外平面图、串并联图和哈林图等，都具有小树宽。路径宽的定义与树宽类似，但要求树分解中的树是一条简单的线（路径），因此树宽可以看作是路径宽的“树”推广。 <