5、数学背景与属性基加密技术解析

数学背景与属性基加密技术解析

1. 椭圆曲线上点的逆元

椭圆曲线上的无穷远点可被描绘为沿 y 轴指向“正”无穷或“负”无穷的点。对于椭圆曲线上的任意点 (P)，其逆元 (-P) 可通过群定义 (P + (-P) = ) 来确定。利用切线 - 弦法，点 (P = (x_p, y_p)) 的逆元为 (-P = (x_p, -y_p))，即在 x 轴上的反射点。在素域 (\mathbb{Z}_p) 上的椭圆曲线中，(-y_p = p - y_p \mod p)，所以 (-P \equiv (x_p, p - y_p))。

2. 除子与双线性映射

2.1 除子的定义

除子 (D) 是表示椭圆曲线 (E) 上点的多重集的一种便捷方式，定义为 (D = \sum_{P\in E(\mathbb{F} q)} n_p(P))，其中 (n_p \in \mathbb{Z})。(\text{Div} {\mathbb{F}_q}(E)) 表示 (E) 上所有除子的集合，它构成一个群，除子加法是自然的。零除子是所有 (n_P = 0) 的除子。若未指定域 (\mathbb{F}_q)，可省略，除子群可简记为 (\text{Div}(E))。除子 (D) 指定了椭圆曲线 (E) 上点的重数，它能表示直线与椭圆曲线的关系，也是基于配对算法的基础。

2.2 除子的度和支撑集

• 度 ：除子 (D) 的度定义为 (\text{Deg}(D) = \sum_{P\in E(\mathbb{F}_q)} n_P)。
• 支撑集 </