18、2π/3 -MST 的 4 近似算法

2π/3 -MST 的 4 近似算法

1. 预备知识与相关声明

在算法的执行过程中，存在一些关于顶点定向的规则和声明。例如，当边 (e = {u, v}) 的一个顶点的定向由第二个条件确定，且 (e) 相对于相邻边 (f = {x, y}) 进行检查时，(f) 的顶点不会因为 (e) 而被分配定向。证明如下：
若 (u) 的定向由第二个条件确定，当 (e) 相对于 (f) 检查时，(u) 在 (P_{x,y}) 的一个中心区域内。所以，当 (f) 相对于 (e) 检查时，可能成立的只有第一个条件。但如果成立，根据声明 5，(u) 的定向由第一个条件确定，这与假设矛盾。因此，若 (e) 的一个顶点的定向由第二个条件确定，那么 (f) 的顶点不会因为 (e) 而被分配定向。

2. 算法的三个阶段

算法主要分为三个阶段，下面分别介绍每个阶段的具体内容。
- 阶段二 ：
- 完成第一阶段（仅对 (X) 的边进行一次迭代）后，进入第二阶段，此阶段会对 (X) 的边进行多次迭代。当完成一轮且没有顶点被分配定向时，第二阶段结束。
- 在单轮迭代中，遍历 (X) 的边，对于每对连续的边 (e = {u, v}) 和 (f = {x, y})（(e) 在 (f) 之前），按照以下四条规则为 (e) 和 (f) 的顶点分配定向：
- 不可重定向 ：顶点的定向不可修改，一旦确定（可能在第一阶段就已确定），就不能改变。
- 中心定向 ：只有当 (u) 是边 (e) 中第二个被分配定向的顶点时，才允许给 (u) 非中心定向。若 (