17、《2π/3 -MST的4近似算法解析》

《2π/3 -MST的4近似算法解析》

1. 引言

在平面上给定一组点 $P = {p_1, \ldots, p_n}$，对于一个角度 $0 < \alpha < 2\pi$，$\alpha$ - 生成树（$\alpha$ - ST）是完全欧几里得图在 $P$ 上的生成树，其特性为：对于 $P$ 中的每个顶点 $p_i$，所有与 $p_i$ 关联的边所张成的（最小）角度至多为 $\alpha$。$\alpha$ - 最小生成树（$\alpha$ - MST）则是 $P$ 的 $\alpha$ - ST 中权重最小的，这里 $\alpha$ - ST 的权重是其各边长度之和。

由于总是存在一个 $P$ 的最小生成树（MST），其中每个顶点的度至多为 5，所以 $\alpha$ 的有趣取值范围是 $(0, \frac{8\pi}{5})$。有界角度（最小）生成树的概念由 Aschner 和 Katz 引入，它与有界度（最小）生成树的研究相关，后者受到了广泛关注。

当 $\alpha < \frac{\pi}{3}$ 时，$P$ 的 $\alpha$ - ST 并不总是存在，例如等边三角形的三个顶点。而当 $\alpha \geq \frac{\pi}{3}$ 时，总是存在 $P$ 的 $\alpha$ - ST。Aschner 和 Katz 证明了对于 $\alpha = \pi$ 和 $\alpha = \frac{2\pi}{3}$，计算 $\alpha$ - MST 的问题是 NP 难的，因此需要高效的近似算法。

显然，对于任何角度 $\alpha$，$P$ 的 $\alpha$ - MST 的权重至少是 $P$ 的 MST 的权重。如果我