信奥队过河【dp+前缀和优化】_当朱迪一个人坐在木筏上,她把木筏划到对岸需要 m 分钟。当木筏搭载的小伙伴-优快云博客

本文介绍了一道关于信奥赛渡河问题的动态规划题目，描述了如何利用dp和前缀和优化来求解。题目中，老师需要在木筏上始终陪伴学生过河，渡河时间会随着学生数量的增加而增加。文章提供了输入输出样例，解题思路以及算法实现，指出最优解是在运输3个学生后返回，再运输剩余2个学生的方案，总时间为50分钟。

题目描述

老师带着他的 $N (1 < = N < = 2, 500)$ 个学生去参加省赛，他们要过一条河，但他们所有的渡河工具，仅仅是一个木筏。
由于学生不会划船，在整个渡河过程中，叶老师必须始终在木筏上。在这个基础上，木筏上的学生数目每增加1，叶老师把木筏划到对岸就得花更多的时间。
当老师一个人坐在木筏上，他把木筏划到对岸需要 $M (1 < = M < = 1000)$ 分钟。当木筏搭载的学生数目从i-1增加到i时，叶老师得多花 $M_i(1 <= M_i <= 1000)$ 分钟才能把木筏划过河（也就是说，船上有1个学生时，老师得花 $M+M_1$ 分钟渡河；船上有2个学生时，时间就变成 $M+M_1+M_2$ 分钟。后面的依此类推）。那么，老师最少要花多少时间，才能把所有学生带到对岸呢？当然，这个时间得包括老师一个人把木筏从对岸划回来接下一批学生的时间。

输入

第1行: 2个用空格隔开的整数：N 和 M
第2…N+1行: 第i+1为1个整数：M_i

输出

第1行: 输出1个整数，为叶老师把所有学生都载过河所需的最少时间

样例输入

样例输出

提示

【输入说明】
叶老师带了5个学生出门。如果是单独把木筏划过河，叶老师需要花10分钟，带上1个学生的话，是13分钟，2个学生是17分钟，3个学生是23分钟，4个学生是123分钟，将5个学生一次性载过去，花费的时间是124分钟。
【输出说明】
叶老师第一次带3个学生过河（23分钟），然后一个人划回来（10分钟），最后带剩下的2个学生一起过河（17分钟），总共花费的时间是23+10+17 = 50分钟。

解题思路：

使用算法：dp+前缀和优化
状态：
f[i]——运输i头牛过河花费的最少时间。
状态转移方程：
总共运输i头牛，考虑当前这一次运输了几头牛，设当前这一次运输j头牛。数组sum存放Mi
$f [i] = m i n (f [i - j] + s u m [j] + 2 * m)$
$1 < = i < = n, 1 < = j < = i 。$
最后的答案就是 $f [n] - m$ （运输最后一次不会返回）。
时间复杂度： $O(n^2)$

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define N 2505 
using namespace std;
int dp[N],sum[N];
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&x);
        sum[i]=sum[i-1]+x;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int Min=INT_MAX;
        for(int j=1;j<=i;j++)    
            Min=min(Min,dp[i-j]+sum[j]+2*m);
        dp[i]=Min;
    }
    cout<<dp[n]-m<<endl;      
    return 0;
}