石子游戏大合集[博弈论]

题目描述(取石子游戏1）

有一种有趣的游戏，玩法如下：
玩家：2人；
道具：N颗石子；
规则：
游戏双方轮流取石子；
每人每次取走若干颗石子（最少取 1颗，最多取 K 颗）；
石子取光，则游戏结束；
最后取石子的一方为胜。
假如参与游戏的玩家都非常聪明，问最后谁会获胜？

输入

输入仅一行，两个整数 N 和 K。

输出

输出仅一行，一个整数，若先手获胜输出 1，后手获胜输出 2。
样例输入
23 3

样例输出

1

题解：

判断一下石子数是不是最大可取石子数加1的倍数就行了。因为只要是倍数关系，只要后手使石子数一直保持这个倍数关系就必胜。意思就是说先手取1个，后手取k-1个

$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k;
int main()
{
    cin>>n>>k;
    if(n%(k+1)==0)cout<<2<<endl;
    else cout<<1<<endl;
}

题目描述（取石子游戏2）

有一种有趣的游戏，玩法如下：
玩家：2人；
道具：N 堆石子，每堆石子的数量分别为 X1, X2,…,Xn
规则：
游戏双方轮流取石子；
每人每次选一堆石子，并从中取走若干颗石子（至少取 1颗）；
所有石子被取完，则游戏结束；
如果轮到某人取时已没有石子可取，那此人算负。
假如两个游戏玩家都非常聪明，问谁胜谁负？

输入

第一行，一个整数 N；
第二行，N个空格间隔的整数 Xi
，表示每一堆石子的颗数。

输出

输出仅一行，一个整数，若先手获胜输出 win，后手获胜输出 lose。

样例输入

4
7 12 9 15

样例输出

win

题解：

此题涉及SG函数，取SG[x]=x，全部异或起来,不为0即先手赢，为0则后手赢。

$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,x=0,y;
    cin>>n;
    for(int i=1; i<=n; i++)cin>>y,x^=y;
    if(x)cout<<"win"<<endl;
    else cout<<"lose"<<endl;
    return 0;
}

题目描述

原题来自：BeiJing 2009 WC
小 H 和小 Z 正在玩一个取石子游戏。取石子游戏的规则是这样的，每个人每次可以从一堆石子中取出若干个石子，每次取石子的个数有限制，谁不能取石子时就会输掉游戏。小 H 先进行操作，他想问你他是否有必胜策略，如果有，第一步如何取石子。

输入

第一行为石子的堆数 N。
接下来 N 行，每行一个数 Ai
i
，表示每堆石子的个数，接下来一行为每次取石子个数的种类数 MM。
接下来 M 行，每行一个数 B_iBi
，表示每次可以取的石子个数，
输入保证这 M 个数按照递增顺序排列。

输出

第一行为 YES 或者 NO，表示小 H 是否有必胜策略。
若结果为 YES，则第二行包含两个数，第一个数表示从哪堆石子取，第二个数表示取多少个石子，若有多种答案，取第一个数最小的答案，若仍有多种答案，取第二个数最小的答案。

样例输入

4
7
6
9
3
2
1
2

样例输出

YES
1 1

题解：

暴力求出sg函数，再暴力枚举第一步看是否转移成了必败状态输出即可（因为转移到必败即是让先手必胜的走法）。

$Code:$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const  int MAXN = 1e3+100;
int a[MAXN],b[MAXN],sg[MAXN];
bool vis[MAXN];
int n,m,ans;
void get_sg()
{ 
    for(int i = 1; i < 1005; i++)
    {
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        for(int j = 0; j < m && b[j] <= i; j++)
            vis[sg[i - b[j]]] = 1;
        for(int j = 0; j < 1006; j++)
            if (vis[j] == 0) 
            {
                sg[i] = j;
                break;
            }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0; i < n; i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    scanf("%d",&m);
    for(int i = 0; i < m; i++)
        scanf("%d",&b[i]);
    get_sg();
    for(int i = 0; i < n; i++)
        ans ^= sg[a[i]];
    if(!ans) puts("NO"); 
    else
    {
        puts("YES");
        for(int i = 0; i < n; i++)
            for(int j = 0; j < m; j++)
                if(b[j] <= a[i] && (ans ^ (sg[a[i]]) ^(sg[a[i] - b[j]])) ==  0)
                {
                    printf("%d %d\n",i + 1,b[j]);
                    return 0;
                }
    }
    return 0;
}