[BZOJ5286][Hnoi2018]转盘（线段树）

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洛谷 P4425
BZOJ 5286
LOJ #2495

Solution

• 首先可以知道，选择逗留在原物品不会更优
• 然后问题转化成
• 选取一个 $t$ ，并选取环上一物品 $x$ ，在 $t$ 时刻从 $x$ 出发，每单位时间前进一步，要求如果经过的第 $i$ 个物品（出发处为第 $0$ 个物品）出现时间为 $k$ ，则需要满足 $t+i\ge k$ （在出现时或之后才能标记到这个物品），求最小的 $t$ ，答案即为 $t_{\min }+n-1$
• 考虑将 $T$ 数组复制一遍
• 然后限制条件变成
• $$\forall x\le i\le x+n-1,t+i-x\ge T_i$$
• 于是当 $x$ 固定时
• t = max ⁡ i = x x + n − 1 { T i − i } + x t=\max_{i=x}^{x+n-1}\{T_i-i\}+x t=i=xmaxx+n−1​{Ti​−i}+x
• 而由于 $T$ 数组倍长过，所以 $T_{i+n}=T_i$
• 故对于所有的 $i\in [1,n]$ 都有 $T_i-i>T_{i+n}-(i+n)$
• 所以可以把 $\max$ 的上界改成 $2n$
• t = max ⁡ i = x 2 n { T i − i } + x t=\max_{i=x}^{2n}\{T_i-i\}+x t=i=xmax2n​{Ti​−i}+x
• 设 $a_i=T_i-i$ ， $b$ 为 $a$ 的后缀最大值数组，那么 $t_{\min }$ 就是
• min ⁡ x = 1 n { b x + x } \min_{x=1}^n\{b_x+x\} x=1minn​{bx​+x}
• 显然，如果 $b$ 在区间 $[l,r]$ 上相等，那么 $x$ 取 $l$ 比取 $l+1$ 到 $r$ 的任意一个数都优
• 所以 $t_{\min }$ 再次化为
• min ⁡ x = 1 n { b x + x } [ x = 1  OR  b x − 1 > b x ] \min_{x=1}^n\{b_x+x\}[x=1\text{ OR }b_{x-1}>b_x] x=1minn​{bx​+x}[x=1 OR bx−1​>bx​]
• 设有数组 $c$ ，保存在 $[1,n]$ 内满足 $b_i>b_{i+1}$ （换句话说， $i$ 是 $a$ 数组的以 $i$ 为开头的前缀最大值）的所有位置 $i$ ，设这样的二元组共 $m$ 个
• 则显然 $i$ 从 $1$ 到 $m$ ， $a_{c_i}$ 严格单调递减， $t_{\min }$ 再次转化
• min ⁡ ( min ⁡ i = 1 m − 1 { a c i + 1 + c i + 1 } , a c 1 + 1 , c m + 1 + max ⁡ i = n + 1 2 n { T i − i } ) \min(\min_{i=1}^{m-1}\{a_{c_{i+1}}+c_i+1\},a_{c_1}+1,c_m+1+\max_{i=n+1}^{2n}\{T_i-i\}) min(i=1minm−1​{aci+1​​+ci​+1},ac1​​+1,cm​+1+i=n+1max2n​{Ti​−i})
• 于是我们需要维护 $c$ 数组的 $c_1,c_m$ 以及 min ⁡ i = 1 m − 1 { a c i + 1 + c i + 1 } \min_{i=1}^{m-1}\{a_{c_{i+1}}+c_i+1\} mini=1m−1​{aci+1​​+ci​+1}
• 这是线段树的骚操作——维护前后缀最大值序列 / 单调子序列
• 具体可右转 线段树维护单调子序列
• 建议先做 BZOJ 2957 楼房重建
• 在这里需要让 $query(u,x)$ 返回一个三元组 $(l,r,val)$
• 分别表示 $c$ 的第一个元素、最后一个元素、对应的 min ⁡ i = 1 m − 1 { a c i + 1 + c i + 1 } \min_{i=1}^{m-1}\{a_{c_{i+1}}+c_i+1\} mini=1m−1​{aci+1​​+ci​+1}
• 同时我们发现我们没必要维护倍长后的后半段
• 因为我们只需要查询 q u e r y ( r o o t , max ⁡ i = n + 1 2 n { T i − i } ) query(root,\max_{i=n+1}^{2n}\{T_i-i\}) query(root,maxi=n+12n​{Ti​−i}) 即可
• $root$ 为线段树的根
• 而 max ⁡ i = n + 1 2 n { T i − i } = − n + max ⁡ i = 1 n { T i − i } \max_{i=n+1}^{2n}\{T_i-i\}=-n+\max_{i=1}^n\{T_i-i\} maxi=n+12n​{Ti​−i}=−n+maxi=1n​{Ti​−i}
• 复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$

Code

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define For(i, a, b) for (i = a; i <= b; i++)
#define p2 p << 1
#define p3 p << 1 | 1

inline int read()
{
	int res = 0; bool bo = 0; char c;
	while (((c = getchar()) < '0' || c > '9') && c != '-');
	if (c == '-') bo = 1; else res = c - 48;
	while ((c = getchar()) >= '0' && c <= '9')
		res = (res << 3) + (res << 1) + (c - 48);
	return bo ? ~res + 1 : res;
}

template <class T>
inline T Max(const T &a, const T &b) {return a > b ? a : b;}

template <class T>
inline T Min(const T &a, const T &b) {return a < b ? a : b;}

const int N = 1e5 + 5, M = N << 2, INF = 0x3f3f3f3f;

int n, m, p, t[N], lst, maxt[M];

struct node
{
	int firs, lsts, firv, res;
} ri[M];

node query(int l, int r, int downs, int p)
{
	if (l == r)
		return maxt[p] >= downs ?
			(node) {l, r, maxt[p], INF} : (node) {0, 0, 0, INF};
	int mid = l + r >> 1;
	if (maxt[p3] < downs) return query(l, mid, downs, p2);
	if (maxt[p2] < maxt[p3]) return query(mid + 1, r, downs, p3);
	node ls = ri[p], rs = query(mid + 1, r, downs, p3);
	if (!ls.firs) return rs;
	return (node) {ls.firs, rs.lsts, ls.firv, Min(Min(ls.res, rs.res),
		rs.firv + ls.lsts + 1)};
}

void build(int l, int r, int p)
{
	if (l == r) return (void) (maxt[p] = t[l] - l);
	int mid = l + r >> 1;
	build(l, mid, p2); build(mid + 1, r, p3);
	maxt[p] = Max(maxt[p2], maxt[p3]);
	ri[p] = query(l, mid, maxt[p3], p2);
}

void change(int l, int r, int pos, int v, int p)
{
	if (l == r) return (void) (maxt[p] = v);
	int mid = l + r >> 1;
	if (pos <= mid) change(l, mid, pos, v, p2);
	else change(mid + 1, r, pos, v, p3);
	maxt[p] = Max(maxt[p2], maxt[p3]);
	ri[p] = query(l, mid, maxt[p3], p2);
}

int main()
{
	int i, x, y;
	n = read(); m = read(); p = read();
	For (i, 1, n) t[i] = read();
	build(1, n, 1);
	node res = query(1, n, maxt[1] - n, 1);
	lst = Min(res.res, t[res.firs] - res.firs + 1);
	if (res.lsts < n) lst = Min(lst, maxt[1] - n + res.lsts + 1);
	printf("%d\n", lst += n - 1);
	while (m--)
	{
		x = read(); y = read();
		if (p) x ^= lst, y ^= lst;
		change(1, n, x, y - x, 1); t[x] = y;
		res = query(1, n, maxt[1] - n, 1);
		lst = Min(res.res, t[res.firs] - res.firs + 1);
		if (res.lsts < n) lst = Min(lst, maxt[1] - n + res.lsts + 1);
		printf("%d\n", lst += n - 1);
	}
	return 0;
}