[学习笔记]省选（算法？数据结构？）·线性基

一、开头

神犇MX：怎么样？xyz32768，你学不会后缀自动机，真是菜啊！
xyz32768：是啊，我本来就很菜啊！
神犇MX：你不服的话，再考你一道题：给定一个$n$个数的数集，求一个子集，使这个子集的$\mbox{xor}$和最大？只需要输出这个$\mbox{xor}$和。$n\leq 10^5$并且每个数不大于$2^{60}$。
xyz32768：爆搜子集，$O(2^n)$，我好像只会这样了。
神犇MX：看来你还是太菜，连线性基都不会，怎么可能会后缀自动机呢？
xyz32768：啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊……（省略$10^{999999}$个“啊”）

二、介绍

一个$n$个数的正整数集合$S$，这个集合的线性基是一个$m$个正整数的集合：

$$A=\{a_1,a_2,a_3,...,a_m\}$$
线性基有两点性质：
①：如果存在$S'\subset S$且$S'$内元素的$\mbox{xor}$和为$t$，那么就一定存在$A'\subset A$且$A'$内的元素的$\mbox{xor}$和为$t$，反过来也一样。简单的说，通过$A$集合内的元素$\mbox{xor}$出的值域与通过$S$集合内的元素$\mbox{xor}$出的值域相同。
②：线性基还有一个重要的性质：对于任何一个$i$，要么$a_i$不存在，要么$a_i$最高位的$1$在第$i$位上。

三、构造（插入一个新数）

集合$S$为空时，线性基即集合$A$的每一个元素（即$a_1,a_2,...$）都不存在。
向线性基中插入新数$p$的方法：
从高到低扫描$p$的每一个二进制位，扫描到$p$的第$i$位为$1$时，分两种情况：
如果$a_i$不存在，那么令$a_i=p$并且结束扫描。
否则令$p=p\mbox{ xor }a_i$并继续扫描。
简单解释：假设插入新数$p$之前的线性基为$A'$，设$A'$满足线性基的两个性质，那么在$a_i$不存在并且$p$最高位的$1$在第$i$位的情况下，令$a_i=p$，得到的线性基仍然满足性质。
而在$a_i$存在的情况下令$p=p\mbox{ xor }a_i$是为了使$p$的第$i$位为$0$，以此维护性质②。这时候$p$异或上$a_i$之后等于待插入的新数，而两个相等的数的异或值总是$0$，这时候仍然满足线性基的性质①。
代码（代码中的$orz$表示线性基，$orz_i=-1$就表示$orz_i$不存在）：

void ins(ll p) {
    int i; for (i = m; i; i--) {
        if (!((p >> i - 1) & 1)) continue;
        if (orz[i] == -1) return (void) (orz[i] = p);
        else p ^= orz[i];
    }
}

合并两个线性基，就是把一个线性基中的元素暴力插入到另一个线性基里面。
代码：

cyx mer(cyx a, cyx b) {
    int i; for (i = m; i; i--)
        a.ins(b.orz[i]);
    return a;
}

四、查询

1、最大异或和

贪心。从高往低扫$a$，对于一个$a_i$，如果$a_i$存在，并且异或上$a_i$后会使结果更大，就异或上$a_i$。通过性质②可以得出正确性。
代码：

ll max_xor() {
    int i; ll ans = 0; for (i = m; i; i--)
        if ((ans ^ orz[i]) > ans) ans ^= orz[i];
    return ans;
}

2、一个数$p$能否被异或出

贪心，同样是利用性质②。首先记下$res=0$。从高往低扫$a$。
对于一个$a_i$，如果$a_i$存在，并且$res$的第$i$位与$p$的第$i$位不等，则使$res=res\mbox { xor }a_i$。
如果最后$res=p$，那么$p$能被异或出。当然需要特判$0$：
如果$S$中有$0$，或者在构建线性基的过程中，存在一个待插入的数$k$使得插入之前$k$能被异或出，那么存在一个非空子集的异或和为$0$。
代码（不加特判$0$）：

bool _xor(ll p) {
    int i; ll res = 0;
    for (i = m; i; i--) {
        if (orz[i] == -1) continue;
        if (((p >> i - 1) & 1) != ((res >> i - 1) & 1))
            res ^= orz[i];
    }
    return res == p;
}

五、题目

（待补充）