快速沃尔什变换（FWT）

最近学了 min-max 容斥，好像几乎每一道 min-max 容斥题都要用到 FWT 来辅助，所以顺便学一下 FWT。

概述

与 FFT 类似。

需要求的是

$$C(k)=\sum _{i\oplus j=k}A(i)\ast B(j)$$

其中 $\oplus$ 可以指代位运算符号，例如按位和，按位或，按位异或。

实际上方法也非常类似。我们需要这样一个变换和他的逆变换

$$FWT(A\oplus B)=FWT(A)\cdot FWT(B)$$

$$IFWT(FWT(A))=A$$

其中 $A\cdot B$ 表示多项式对应位置系数相乘。这样子我们就可以先求得变换后的多项式，然后 $O(n)$ 对应位置相乘，再变换回去。（废话）

或卷积

设

$$FWT(A{)}_i=\sum _{i|j=i}{A}_j$$

感性理解就是算这个集合的所有子集的权值和。

可以发现

$$FWT(A|B)=FWT(A)\cdot FWT(B)$$

满足要求。

然后我们看如何快速计算这个东西。

还是受 FFT 的启发，考虑分治算这个东西。假设当前多项式 $A$ 次数为 $2^n-1$ 次，那么我们把他按最高位是 $0$ 还是 $1$ 分成两个次数为 $2^{n-1}-1$ 的多项式，叫做 $A0,A1$ 。

然后观察可得

$$FWT(A)=(FWT(A0),FWT(A0)+FWT(A1))$$

其中 $(A,B)$ 表示两个多项式首尾相接。原因很简单，因为要取子集，所以这一位为 $0$ 的一定包含于这一位为 $1$ 的集合中。

然后就可以分治 $O(n\log n)$ 算了呀。

他的逆变换是这样的

$$IFWT(A)=(IFWT(A0),IFWT(A1)-IFWT(A0))$$

感性理解起来也很方便，现在一个位置的数表示子集权值和，那我们还是一位一位考虑，把他的真子集全部都删掉就好了。

具体证明就不证了。并且这个东西比 FFT 还好写。

和卷积

一模一样。您可以将公式替换到上面的或卷积中，然后复读一遍。

$$FWT(A{)}_i=\sum _{i\&j=i}{A}_j$$

表示取所有包含他的集合的权值和。

所以

$$FWT(A)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A1))$$

$$IFWT(A)=(FWT(A0)-FWT(A1),FWT(A1))$$

异或卷积

与上述两个不是很一样。稍微麻烦一点。这里我们用更为普适的方法来解决异或卷积的问题。

可以参考 这篇博客 。

异或卷积定义如下

$$(AxorB{)}_i=\sum _{jxork=i}{A}_j{B}_k$$

首先我们假设异或变换为

$$FWT(A{)}_i=\sum _{j=0}^{n-1}K(i,j)A_j$$

其中 $K(i,j)$ 为关于 $i,j$ 的函数。

然后考虑到

$$FWT(AxorB)=FWT(A)\cdot FWT(B)$$

所以对于每一位 $x$ 都有

$$\sum _{i=0}^{n-1}K(x,i)(AxorB{)}_i=\sum _{j=0}^{n-1}K(x,j)A_j\cdot \sum _{k=0}^{n-1}K(x,k)B_k$$

将最上面的定义带代入，得到

$$\sum _{i=0}^{n-1}K(x,i)\sum _{jxork=i}{A}_j{B}_k=\sum _{j=0}^{n-1}K(x,j)A_j\cdot \sum _{k=0}^{n-1}K(x,k)B_k$$

化简

$$\sum _{j=0}^{n-1}\sum _{k=0}^{n-1}K(x,jxork)A_j{B}_k=\sum _{j=0}^{n-1}\sum _{k=0}^{n-1}K(x,j)K(x,k)A_j{B}_k$$

所以我们发现

$$K(x,jxork)=K(x,j)K(x,k)$$

只要系数满足这个就完全可以做 FWT 了。但是因为 IFWT 的需要，我们还要保证他可以反演，也就是说转移矩阵可逆。

所以对于异或卷积，根据人类智慧，我们发现系数可以这样设

$$K(x,i)=(-1{)}^{|x\&i|}$$

其中 $|A|$ 表示集合大小，或者说一个二进制数中 $1$ 的个数。

因为考虑异或对集合大小奇偶性的影响，发现两个集合异或之后他们集合大小的奇偶性也会异或起来。感性理解的话就把异或看成不进位的二进制加法就好。

然后因为

$$(x\&i)xor(x\&j)=x\&(ixorj)$$

上面的式子对于集合大小的奇偶性也是一样的，所以系数

$$(-1{)}^{|x\&(ixorj)|}=(-1{)}^{|x\&i|}\cdot (-1{)}^{|x\&j|}$$

现在我们看看如何用分治来做异或卷积。

既然已经定义了

$$FWT(A{)}_i=\sum _{j=0}^{n-1}(-1{)}^{|i\&j|}{A}_j$$

只要尝试着在已知 $FWT(A0),FWT(A1)$ 的情况下在每一个数前面加上 $0$ 或者 $1$ 再算一遍就好了，我们可以得到如下式子

$$FWT(A)=(FWT(A0)+FWT(A1),FWT(A0)-FWT(A1))$$

$$IFWT(A)=(\frac{IFWT(A0)+IFWT(A1)}{2},\frac{IFWT(A0)-IFWT(A1)}{2})$$

大功告成。

总结

和 FFT 非常类似，可以类比 FFT 理解。

作为一种工具，要熟练掌握并能在该用的地方用出来。