常微分方程（微积分）

11.1 微分方程的基本概念

• 基本概念：
  • 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程
    • 常微分方程：含一元函数及其导函数
    • 偏微分方程：含多元函数及其偏导数
  • $n$阶常微分方程：$F(x,y,y^{\prime },...,y^{(n)})=0$
  • 通解：解中含有$n$个任意常数（其中$n$为微分方程阶数）
  • 初始条件：用来确定任意常数的条件
  • 特解：不含常数的解（一般由初始条件确定）

    通解不一定包含一切特解。奇解：不包含于通解的特解

    例：微分方程$y^2(x)+y^{\prime 2}(x)=1$，通解为$y=\sin (x+C)$，但$y(x)=1$为一个特解，不属于通解

11.2 一阶微分方程

• 变量分离的方程：$\frac{dy}{dx}=f(x)\cdot g(y)$（右式为乘积形式）

  • 解法：两端积分
    $$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$$
    例：\color{blue} 特解不属于通解的情况。。。。。

• 几类可化为变量分离方程：

  1. 形如$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)(\ast )$
     令$z=ax+by+c$，得 $\frac{dz}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}=a+bf(z)$.
  2. 齐次微分方程：形如$\frac{dy}{dx}=\varphi (\frac{y}{x})$
     令$z=\frac{y}{x}$，得 $z+x\frac{dz}{dx}=\frac{dy}{dx}=\varphi (z)$.
  3. 可化为齐次微分方程：形如$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$
     当$c_1=c_2=0$，为齐次方程
     当$c_1,c_2$不全为$0$：
     • 1).$\Delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|\ne 0$时：因为$\{\begin{array}{l}{a}_{1}x+b_{1}y+c_1=0\\ a_{2}x+b_{2}y+c_2=0\end{array}$有唯一解$(x_0,y_0)$.
       令 $u=x-x_0,v=y-y_0$，原式可化为$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{a_{1}u+b_{1}u}{a_{2}v+b_{2}v}\right)$，为齐次方程
     • 2).$\Delta =\left|\begin{array}{cc}{a}_1& b_1\\ a_2& b_2\end{array}\right|=0$时：
       • (i).若$a_1=a_2=0或b_1=b_2=0$：原式可化为$\frac{dy}{dx}=F(x)=f(\frac{a_{1}x+c_1}{a_{2}x+c_2})$.
       • (ii).若$a_1=b_1=0或a_2=b_2=0$：
         原式可化为方程$(\ast )$：$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{c_1}{a_{2}x+b_{2}y+c_2}\right)$或$\frac{dy}{dx}=f\left(\frac{a_{1}x+b_{1}y+c_1}{c_2}\right)$
       • (iii).若$a1\ne 0,b_1\ne 0$：令$k=\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2},z=a_{1}x+b_{1}y$，得 $\frac{dz}{dx}=a_1+b_1\frac{dy}{dx}=a_1+b_{1}f(\frac{z+c_1}{kz+c_2})$.
  4. 变量代换：$u=x+y,u=xy$等
     例：$求微分方程(x-y\cos \frac{y}{x})dx+x\cos \frac{y}{x}dy=0的解$
     $$\begin{gathered} 令u=\frac{y}{x},则dy=xdu+udx \\ 原式得:(1-u\cos u)dx+\cos u(xdu+udx)=0 \\ \cos udu=-\frac{dx}{x} \\ \therefore \sin \frac{y}{x}=-\ln x+C. \end{gathered}$$
     例：$x{y}^{\prime }-y-\sqrt{y^2-x^2}=0$
     $$\begin{gathered} 当x>0时 \\ 当x<0时 \end{gathered}$$
     例：$y^{\prime }=\frac{y^2-2xy-x^2}{y^2+2xy-x^2},y(1)=1$.

• 一阶线性微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$（次数均为一次）

  • 线性齐次微分方程（$Q(x)\equiv 0$）： 通解为$y=C{e}^{-\int P(x)dx}$
    证：分离变量法
  • 线性非齐次微分方程：通解为$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]$.（非齐次方程的通解$=$非齐次方程的特解$+$齐次方程的通解）
    证：常数变易法

• 伯努利(Bernoulli)微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(n\ne 0,1)$

  • 令$u=y^{1-n}$，则$u^{\prime }=(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }$，得线性方程$u^{\prime }+(1-n)P(x)u=(1-n)Q(x)$

• 全微分方程：一阶微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$可被称为全微分方程 $⟺$ 若存在$u(x,y)$，使得$u(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy$

  • 结论：若$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},(x,y)\in D$，则存在$u(x,y)$ ，即通解
  • 几何意义：切平面纵坐标增量为$0$
    例：$求方程\frac{2x}{y^3}dx+\frac{y^2-3x^2}{y^4}dy=0的通解$
    解：
    $$\begin{gathered} \because \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{6x}{y^4}=\frac{\partial Q}{\partial x},\therefore 是全微分方程 \\ 法一：LHS=\frac{1}{y^2}dy+(\frac{2x}{y^3}dx-\frac{3x^2}{y^4}dy)=d(-\frac{1}{y})+d(\frac{x^2}{y^3})=d(-\frac{1}{y}+\frac{x^2}{y^3}) \\ \therefore -\frac{1}{y}+\frac{x^2}{y^3}=C. \\ 法二：u(x,y)={\int }_0^x\frac{2x}{y^3}dx=\frac{x^2}{y^3}+\varphi (y) \\ u(x,y)={\int }_0^y\frac{y^2-3x^2}{y^4}dy=-\frac{1}{y}+\frac{x^2}{y^3}. \\ 得\varphi (y)=-\frac{1}{y},故通积分-\frac{1}{y}+\frac{x^2}{y^3}=C \end{gathered}$$
  • 积分因子：对于非全微分方程$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$，若存在$\mu (x,y)\ne 0$，使得$\mu Mdx+\mu Ndx=0$是全微分方程，则$\mu$为方程的积分因子
    由$\frac{\partial (\mu P)}{\partial y}=\frac{\partial (\mu Q)}{\partial x}$，得$\mu (\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x})=Q\frac{\partial \mu }{\partial x}-P\frac{\partial \mu }{\partial y}$

11.3 二阶微分方程

• 特殊二阶微分方程：
  • $f(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$：令$u=y^{\prime }$，化为$f(x,u,u^{\prime })=0$
    例：$求x{y}^{(5)}-y^{(4)}=0通解$
    $$令z=y^{(4)},x{z}^{\prime }-z=0得y^{(4)}=z=C_{1}x.$$
  • $f(y,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$：令$u=y^{\prime }$，化为$f(y,u,u\frac{du}{dy})=0$
    例：$求xy{y}^{\prime \prime }-x{y}^{\prime 2}=y{y}^{\prime }通解$
    $$\begin{gathered} 两边同除以y^2：x(\frac{y{y}^{\prime \prime }-y^{\prime 2}}{y^2})=\frac{y^{\prime }}{y} \\ 令z=\frac{y^{\prime }}{y},x{z}^{\prime }=z \\ \frac{y^{\prime }}{y}=z=C_{1}x得y=e^{\frac{1}{2}{x}^2+C}. \end{gathered}$$
• 二阶线性微分方程：$y^{\prime \prime }+P_1(x)y^{\prime }+P_2(x)y=f(x)$
  • 性质（解的结构）：
    1. 若$y_1,y_2$为线性齐次方程的解，则$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$也为解
    2. 只有线性齐次方程的解$y_1,y_2$线性无关时，齐次方程的通解才为$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2$.
    3. 线性非齐次方程中，非齐次的特解$y^{\ast }(x)+$对应齐次时的通解$y_1(x)=$非齐次的通解$Y=y^{\ast }(x)+y_1(x)$.
    4. 解的叠加原理一（实数）：非齐次方程中，$f_1(x)$对应的解$y_1+$$f_2(x)$对应的解$y_2=f_1(x)+f_2(x)$对应的解$y_1+y_2$.
    5. 解的叠加原理二（虚数）：非齐次方程中，$f_1(x)$对应的解$y_1+$$f_2(x)$对应的解$y_2\times i=f_1(x)+i{f}_2(x)$对应的解$y_1+i{y}_2$.
  • 常系数微分方程：$y^{(n)}+p_1{y}^{(n-1)}+p_2{y}^{(n-2)}+...+p_{n}y=f(x)$
    • $2$阶齐次方程（只需求齐次方程两个线性无关的特解）：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$
      ${\lambda }^2+p\lambda +q=0$为特征方程，$\lambda =\frac{-p\pm \sqrt{p^2-4q}}{2}$为特征根
      1. 若$p^2-4q>0$，则$y_1=e^{{\lambda }_{1}x},y_2=e^{{\lambda }_{2}x}$为两线性无关的不同特解，故通解为$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$.
      2. 若$p^2-4q=0$（二重根），则$y_1=e^{{\lambda }_{1}x}$为一特解。令$u(x)=\frac{y_2}{y_1}$，可得$u^{\prime \prime }(x)=0⟺y_1,y_2$线性相关。记$y_2=x{e}^{{\lambda }_{1}x}$，故通解为$y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_{2}x{e}^{{\lambda }_{1}x}$.
      3. 若$p^2-4q<0$，则${\lambda }_1=\alpha +i\beta ,{\lambda }_2=\alpha -i\beta$，其中$\alpha =-\frac{p}{2},\beta =\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}$。欧拉公式有$e^{(\alpha \pm i\beta )x}=e^{\alpha x}(\cos \beta x\pm i\sin \beta x)$。则$y_1=e^{{\lambda }_{1}x},y_2=e^{{\lambda }_{2}x}$为两线性无关的不同特解，故通解为$y=C_1{e}^{(\alpha +i\beta )x}+C_2{e}^{(\alpha -i\beta )x}=e^{\alpha x}(A_1\cos \beta x+A_2\sin \beta x)$.
    • $n$阶齐次方程：$r^n+p_1{r}^{n-1}+...+p_{n-1}r+p_n=0$为特征方程
      1. 若是$k$重根$r$，通项为$(C_1+C_{2}x+...+C_k{x}^{k-1})e^{rx}$.
      2. 若是$k$重共轭复根$\alpha \pm j\beta$，通项为$[(C_1+C_{2}x+...+C_k{x}^{k-1})\cos \beta x+(D_1+D_{2}x+...+D_k{x}^{k-1})\sin \beta x]e^{\alpha x}$.
         例：$求y^{(5)}+y^{(4)}+2y^{(3)}+2y^{\prime \prime }+y^{\prime }+y=0的通解$
         $$\begin{gathered} 特征方程为r^5+r^4+2r^3+2r^2+r+1=0 \\ 特征根为r_1=-1,r_2=r_3=j,r_4=r_5=-j \\ 通解为y=C_1{e}^{-x}+(C_2+C_{3}x)\cos x+(C_4+C_{5}x)\sin x \end{gathered}$$
    • 2阶非齐次方程（只需求非齐次方程的特解和齐次方程的通解）：$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$
      易知$f(x)$常见形式$f(x)=\{\begin{array}{l}\varphi (x)\\ \varphi (x)e^{rx}\\ \varphi (x)e^{\alpha x}(A_1\cos \beta x+A_2\sin \beta x)\end{array}$均可表示为$f(x)=\varphi (x)e^{rx}=\varphi (x)e^{(\alpha +i\beta )x}$，故讨论$\varphi (x)$为$m$次多项式，$r$为复常数时的情况。
      待定系数法：设$y(x)=Q(x)e^{rx}$，其中$Q(x)$为$m$次多项式，代入方程得$Q^{\prime \prime }(x)+(2r+p)Q^{\prime }(x)+(r^2+pr+q)Q(x)\equiv \varphi (x)$.
      1. 若$r^2+pr+q\ne 0$，此时$y(x)=Q(x)e^{rx}$.
      2. 若$r^2+pr+q=0,2r+p\ne 0$，此时$y(x)=xQ(x)e^{rx}$.
      3. 若$r^2+pr+q=0,2r+p=0$，此时$y(x)=x^{2}Q(x)e^{rx}$.
         例：$求解方程y^{\prime \prime }-y=3e^{2x}+4x\sin x的通解$
         $$\begin{gathered} 首先分解为\{\begin{array}{l}\begin{array}{rlrl}& y^{\prime \prime }-y=3e^{2x}& & (\ast )\\ & y^{\prime \prime }-y=4x\sin x& & (\ast \ast )\end{array}\end{array} \\ 特征方程{\lambda }^2-1=0有两不同实根{\lambda }_1=1,{\lambda }_2=-1 \\ 故对应齐次方程的特解为C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}. \\ 对(\ast )求特解:设y_1=k{e}^{2x}，代入得k=1. \\ 对(\ast \ast )求特解:先考虑方程y^{\prime \prime }-y=4x{e}^{ix},设y_2=(ax+b)e^{ix}，代入得a=-2,b=-2i. \\ 故y_2的虚部为y=-2(\cos x+\sin x). \\ 综上所求原方程的通解为y=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}+e^{2x}-2(\cos x+\sin x). \end{gathered}$$