【OD机试题笔记】可以处理的最大任务数

原创

已于 2025-12-05 14:57:34 修改 · 432 阅读

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于 2025-12-05 14:57:16 首次发布

题目描述

在某个项目中有多个任务(用tasks数组表示)需要您进行处理，其中tasks[i]=[si,ei],你可以在si <= day <= ei中的任意一天处理该任务，
请返回你可以处理的最大任务数。

输入描述
第一行为任务数量n，1 <=n<= 100000。后面n行表示各个任务的开始时间和终止时间，使用si,ei表示,1 <= si <= ei <= 100000

输出描述
输出为一个整数，表示可以处理的最大任务数。

** 用例
输入
3
1 1
1 2
1 3

输出
3

思路

一、问题核心背景

本题为经典的「区间调度最大化问题」，要求在 si ≤ day ≤ ei 范围内为每个任务分配唯一天数，最大化处理的任务数。基础贪心（直接选任务结束时间作为处理时间）因浪费早期空闲天存在逻辑漏洞，并查集 和 小顶堆（优先队列） 是两种严格贴合题目条件的最优解法。

二、并查集解法

1. 核心原理

核心思想是为每个任务快速找到 [si, ei] 范围内的「最早空闲天」，避免浪费早期天数，最大化后续任务的分配空间。

并查集的作用：用数组 parent 记录每个天数的「最终空闲父节点」，通过「查找（find）+ 路径压缩」实现 O(1) 级别的空闲天查询，通过「更新父节点」标记天数已被占用。
核心步骤：
1. 排序：将所有任务按「结束时间 ei」升序排列（优先处理结束早的任务，减少过期风险）；
2. 并查集初始化：构建 parent 数组，parent[day] = day（初始时每个天数的空闲父节点是自身）；
3. 查找空闲天：对每个任务 [si, ei]，调用 find(si) 找到 si 对应的最早空闲天 x；
4. 分配与更新：若 x ≤ ei（存在可用天），则分配该天（计数+1），并将 parent[x] = x + 1（标记 x 已占用，下次查询直接指向 x+1）。

2. 关键细节

路径压缩：find 函数中，若 parent[x] ≠ x，递归查找并将 parent[x] 指向最终空闲父节点，避免重复遍历，将查询复杂度降到近乎 O(1)；
排序必要性：按结束时间升序，确保先处理“时间窗口更紧张”的任务，避免因先处理晚结束的任务导致短窗口任务过期。

3. 时间复杂度

排序：O(n log n)（主导复杂度，n 为任务数）；
并查集操作：每个任务的 find 操作因路径压缩，均摊复杂度为 O(α(n))（α 是阿克曼函数的反函数，n=1e5 时 α(n)≈3，接近常数）；
总体复杂度：O(n log n)，完全适配 n=1e5 的大数据量。

4. 空间复杂度

O(maxDay)：parent 数组的长度取决于所有任务的最大结束时间 maxDay（最坏情况为 1e5，符合题目约束）。

三、小顶堆（优先队列）解法

1. 核心原理

模拟「按天处理任务」的过程，每天优先处理「结束时间最早」的可用任务，确保不浪费当天时间，同时避免任务过期。

小顶堆的作用：维护当前所有可用任务的结束时间，堆顶为「最早结束的任务」，保证每天处理的是最紧急的任务。
核心步骤：
1. 排序：将所有任务按「开始时间 si」升序排列；
2. 按天遍历：从第 1 天遍历到所有任务的最大结束时间 maxDay；
3. 任务入堆：将当天开始的所有任务（si = 当前天）的结束时间 ei 加入小顶堆；
4. 清理过期任务：弹出堆中所有结束时间 < 当前天的任务（已无可用时间，无需处理）；
5. 处理任务：若堆非空，弹出堆顶任务（最早结束），计数+1（代表当天处理该任务）。

2. 关键细节

小顶堆的特性：堆的插入/弹出操作复杂度为 O(log k)（k 为堆中任务数，k ≤ n）；
按天遍历的边界：只需遍历到 maxDay（所有任务的最大结束时间），无需遍历到 1e5（可提前预判）；
过期任务清理：必须先清理过期任务，否则会处理已无时间窗口的任务，导致结果错误。

3. 时间复杂度

排序：O(n log n)；
堆操作：每个任务最多入堆/出堆各一次，总复杂度 O(n log n)；
按天遍历：O(maxDay)，但 maxDay ≤ 1e5（题目约束），且实际中可提前终止（无任务时直接退出）；
总体复杂度：O(n log n + maxDay)，n=1e5、maxDay=1e5 时仍可高效运行。

4. 空间复杂度

O(n)：小顶堆最多存储所有任务（最坏情况），排序后的任务数组也需 O(n) 空间。

四、两种解法对比

维度	并查集解法	小顶堆解法
核心思路	为任务找最早空闲天	按天处理最紧急任务
时间复杂度	O(n log n)（更优）	O(n log n + maxDay)
空间复杂度	O(maxDay)	O(n)
适用场景	大数据量、时间范围明确	需直观模拟每日任务分配
代码实现	简洁（无复杂数据结构）	稍复杂（需实现堆）
核心优势	效率极高，路径压缩降复杂度	逻辑直观，贴近业务场景

代码

// 并查集
function solution() {
   
   
  const n = Number(readline());
  const tasks = [];
  for (let i = 0; i < n; i++) {
   
   
    tasks.push(readline().split(' ').map(Number));
  }

  // 按结束时间升序
  tasks.sort((a, b) =>  a[1] - b[1]);

  const maxDay = tasks[tasks.length-1][1];
  const parent = Array(maxDay + 1);
  for (let i = 1; i <= maxDay; i++<