【OD机试题笔记】二进制差异数

题目描述

对于任意两个正整数A和B，定义它们之间的差异值和相似值：
**差异值：**A、B转换成二进制后，对于二进制的每一位，对应位置的bit值不相同则为1，否则为0；
**相似值：**A、B转换成二进制后，对于二进制的每一位，对应位置的bit值都为1则为1，否则为0；
现在有n个正整数A0到A（n-1），问有多少(i, j) (0<=i<j<n），Ai和Aj的差异值大于相似值。
假设A=5，B=3；则A的二进制表示101；B的二进制表示011；
则A与B的差异值二进制为110；相似值二进制为001；
A与B的差异值十进制等于6，相似值十进制等于1，满足条件。

输入描述
一个n接下来n个正整数

数据范围：1<=n<=105，1<=A[i]<230

输出描述
满足差异值大于相似值的对数

** 示例1
输入
4
4 3 5 2

输出
4

说明>
满足条件的分别是(0,1)(0,3)(1,2)(2,3)，共4对。

思路

1. 问题本质转化

统计满足 A[i] ^ A[j] > A[i] & A[j]（0≤i<j<n）的数对数量，核心规律为：
两数异或值大于与值 ⇨ 两数的二进制最高有效位不同。

• 若最高位不同：异或的最高位为较高的那个位（值为1），与的最高位为0 → 异或>与，满足条件；
• 若最高位相同：与的最高位为该位（值为1），异或的最高位低于该位 → 异或≤与，不满足条件。

2. 核心解法（两种高效思路）

解法1：正面统计（最优）

• 步骤1：统计每个二进制最高有效位下的数的个数（如用 31 - Math.clz32(num) 计算数的最高位位置）；
• 步骤2：累加所有“不同最高位组合”的数对数量（即遍历所有 i<j，计算 count[i] * count[j]，count[bit] 为最高位bit的数的个数）。

解法2：补集思想

• 步骤1：计算所有可能的数对总数 total = n*(n-1)/2；
• 步骤2：统计“最高位相同”的数对数量（不满足条件）：对每个最高位bit，计算 count[bit]*(count[bit]-1)/2 并求和；
• 步骤3：答案 = 总数 - 不满足条件的数对数量。

3. 关键细节

• 最高位计算：利用 Math.clz32(num) 求32位二进制前导0个数，31 - 前导0数 即为最高位位置（适配 A[i]<2^30 的约束）；
• 数值溢出：n=1e5时数对总数约5e9，需用BigInt或适配大整数的类型避免溢出；
• 时间复杂度：O(n + 30×30)（n为数字个数，30为二进制最高位范围），完全适配n=1e5的大数据量。

4. 核心思维

• 位运算题优先“按位分组”降维：将n级问题转化为30级（二进制位数）的小规模问题；
• 直接统计困难时，优先用“补集思想”简化计算。

代码

function solution() {
   
   
    const n = Number