【OD机试题多种解法笔记】小明减肥

题目

小明有n个可选运动，每个运动有对应卡路里，想选出其中k个运动且卡路里和为t。k，t，n都是给定的。求出可行解数量
输入描述
第一行输入n t k
第二行输入 每个运动的卡路里 按照空格进行分割
备注
0<n<10
t>0，0<k<=n
每个运动量的卡路里>0
输出描述
求出可行解数量

示例1：

输入

4 3 2
1 1 2 3

输出

2

说明
可行解为2，选取{0,2},{1,2}两种方式。

思路一（暴力解法）

可以使用回溯法来枚举所有可能的k个运动的组合，并统计满足条件的组合数量。

算法过程

1. 输入处理：读取输入的n、t、k和卡路里数组。

2. 回溯搜索：从第一个运动开始，尝试选择或不选择当前运动，递归搜索所有可能的组合。

3. 剪枝条件：

   • 如果已选运动数量超过k，终止搜索。

   • 如果剩余运动不足以达到k个，终止搜索。

   • 如果当前卡路里之和超过t，终止搜索。

4. 终止条件：当已选运动数量为k且卡路里之和等于t时，计数加1。

5. 该算法的时间复杂度为 O (C (n, k))，其中 C (n, k) 表示组合数。由于 n 的最大值为 10，组合数的最大值为 252，因此算法在给定约束条件下是高效的。

参考代码

function solution() {
  const [n, t, k] = readline().split(" ").map(Number);
  const calories = readline().split(" ").map(Number);

  let count = 0;
  function backtrack(start, currentSum, currentSize) {
    if (currentSize === k) {
      if (currentSum === t) {
        count++;
      }
      return;
    }
    if (currentSize > k || currentSum > t) {
      return;
    }
    for (let i = start; i < n; i++) {
      backtrack(i + 1, currentSum + calories[i], currentSize + 1);
    }
  }

  backtrack(0, 0, 0);
  console.log(count);
}

const cases = [
  `4 3 2
1 1 2 3`,
];
let caseIndex = 0;
let lineIndex = 0;

const readline = (function () {
  let lines = [];
  return function () {
    if (lineIndex === 0) {
      lines = cases[caseIndex]
        .trim()
        .split("\n")
        .map((line) => line.trim());
    }
    return lines[lineIndex++];
  };
})();

cases.forEach((_, i) => {
  caseIndex = i;
  lineIndex = 0;

  solution();
});

思路二（动态规划）

       题意可以简化为从 n 个物品中选取 k 个恰好装满容量为 t 的背包的方案总数。这是一个典型的背包问题，属于恰好装满的 0-1 背包计数问题。其特点是：

• 每个物品只能选或不选（0-1 性质）。
• 必须恰好装满容量为 t 的背包。
• 目标是计算满足条件的方案总数，而非最大价值。

算法过程

1. 状态定义：dp[j][s] 表示选择 j 个运动，卡路里总和为 s 的组合数目。

2. 初始化：dp[0][0] = 1，表示不选任何运动且总和为 0 的情况只有一种。

3. 状态转移：

   • 对于每个运动，逆序遍历 j 从 k 到 1

   • 对于每个 j，逆序遍历 s 从 t 到当前运动的卡路里值

   • 更新 dp[j][s] 的值，加上 dp[j-1][s-cal]（即选择当前运动的情况）

4. 结果：最终结果存储在 dp[k][t] 中，表示选择 k 个运动且总和为 t 的组合数目。

复杂度分析

• 时间复杂度：仍然是 O (n * k * t)，与三维数组版本相同

• 空间复杂度：优化为 O (k * t)

参考代码

function solution() {
  const [_, t, k] = readline().split(" ").map(Number);
  const calories = readline().split(" ").map(Number);

  // 创建二维DP数组并初始化为0
  const dp = Array.from({ length: k+1 }, () => Array(t+1).fill(0));
  // 初始化：不选任何物品，重量为0，方案数为1
  dp[0][0] = 1;
  
  // 处理每个物品
  for (const cal of calories) {
      // 逆序遍历j和s，避免覆盖需要的旧状态
      for (let j = k; j >= 1; j--) {
          for (let s = t; s >= cal; s--) {
              // 状态转移：选当前物品
              dp[j][s] += dp[j-1][s - cal];
          }
      }
  }
  
  // 结果：选k个物品，总重量为t的方案数
  console.log(dp[k][t]);
}

const cases = [
  `4 3 2
1 1 2 3`,
];
let caseIndex = 0;
let lineIndex = 0;

const readline = (function () {
  let lines = [];
  return function () {
    if (lineIndex === 0) {
      lines = cases[caseIndex]
        .trim()
        .split("\n")
        .map((line) => line.trim());
    }
    return lines[lineIndex++];
  };
})();

cases.forEach((_, i) => {
  caseIndex = i;
  lineIndex = 0;

  solution();
});