Palindromic Shortest Path题解

问题陈述

我们有一个N个顶点的有向图，编号1,2，…，N。关于边的信息由下式给出，n的平方个字符C1,1,C1,2，...,C1,N，C2, 1，...,CN,N.在这里，每个Ci, j是小写英文字母或-。

如果Ci, j是一个小写英文字母，那么从顶点i开始只有一条有向边到顶点j标记Ci, j.如果Ci, j是-,顶点i没有边到顶点j

对于每个整数对（i，j）1≤i，j≤N，回答以下问题：在从顶点i开始的所有（不一定是简单的）路径中到顶点j边上的标签连接形成回文，这样的最短路径的长度是多少？如果没有这样的路径，答案是−1.

约束条件
1≤N≤100
N是一个整数。
每个Ci,j是小写英文字母或-。

输入
输入来自标准输入，格式如下：

输出
让Ai, j成为这对点（i，j）问题的答案。按以下格式打印：

题解

 首先从极端情况考虑，一个点到自己的最短回文路径肯定是0（空串也是回文字符串），一个点到另一个点如果有边，那么最短回文路径是1.（一个字符也可以形成回文字符串）

其次，易证，只要一个字符串是回文字符串，那么在这个字符串前后加上相同字母，组成的字符串也一定是回文字符串。那么就可以想到，通过这种方式，从极端情况开始逐渐松弛。

每次选取之间回文路径最小的两个点，松弛前后相同字母的边，直到无法松弛为止。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
using namespace std;
long long i,j,x,k,y,xx,yy,n,m,dp[110][110],l,l1,l2;
const long long c=1;
vector<long long> chu[110][30],ru[110][30];
string s;
int main()
{
	priority_queue<pair<long long,pair<long long,long long> >,vector<pair<long long,pair<long long,long long> > >,greater<pair<long long,pair<long long,long long> > > > q;
	//用小根堆维护最短的回文路径,q.first记录路径长度,q.second记录起点和终点
	scanf("%lld",&n);
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			dp[i][j]=0x7fffffff;
		}
		dp[i][i]=0;
		q.push({0,{i,i}}); 
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>s;
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(s[j-1]!='-') 
			{
				chu[i][s[j-1]-'a'+1].push_back(j); 
				ru[j][s[j-1]-'a'+1].push_back(i);//记录每个点不同字母的入度和出度
				dp[i][j]=min(dp[i][j],c);
				q.push({1,{i,j}});
			}
		}
	}
	while(!q.empty())
	{
		l=q.top().first;
		x=q.top().second.first;//起点 
		y=q.top().second.second;//终点 
		q.pop();
		if(dp[x][y]<l) continue;//已经松驰过 
		for(i=1;i<=26;i++)
		{
			l1=ru[x][i].size();
			l2=chu[y][i].size();
			for(j=0;j<l1;j++)
			{
				for(k=0;k<l2;k++)
				{
					xx=ru[x][i][j];
					yy=chu[y][i][k];//xx到起点，终点到yy的边的字母相同（都为i+'a'-1） 
					if(dp[xx][yy]>l+2)//松弛 
					{
						dp[xx][yy]=l+2;
						q.push({l+2,{xx,yy}});
					}
				}
			} 
		}
	}
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=n;j++)
		{
			if(dp[i][j]==0x7fffffff) printf("-1 ");
			else printf("%lld ",dp[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}