机器人动力学建模实例：二连杆机械臂

机器人动力学方程比较复杂，通常每一个参数矩阵都非常庞大，这里介绍几个简单结构的动力学方程，对于一般的控制算法，可以在这几个动力学方程中进行验证。

1、欧拉-拉格朗日动力学方程

（不考虑摩擦和末端受力）可以写成：

∑j=1ndij(q)q¨j+∑i=1n∑j=1ncijk(q)qi˙qj˙+gi(q)=τi∑j=1ndij(q)q¨j+∑i=1n∑j=1ncijk(q)qi˙qj˙+gi(q)=τi

用矩阵形式表示为：

D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+G(q)=τD(q)q¨+C(q,q˙)q˙+G(q)=τ

其中：cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi)cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi)

2、两连杆笛卡尔臂动力学方程

注：分别计算连杆和电机转子的质量、转动惯量。

D=[ml1+mm2+Im1+Il200ml2+Im2]D=[ml1+mm2+Im1+Il200ml2+Im2]
C=0C=0
G=[(ml1+ml2+mm2)g0]G=[(ml1+ml2+mm2)g0]

完整动力学方程为：

(ml1+mm2+Im1+Il2)d1¨+(ml1+ml2+mm2)g=τ1(ml2+Im2)d2¨=τ2(ml1+mm2+Im1+Il2)d1¨+(ml1+ml2+mm2)g=τ1(ml2+Im2)d2¨=τ2

其中，mlimli 表示连杆的质量， mmimmi 表示电机转子的质量， ImiImi 表示电机转子关于其转动轴的转动惯量。gg 表示重力加速度矢量， didi 表示平动关节的关节变量。 τiτi 表示关节所需力矩。

两连杆笛卡尔臂应用实例

直角坐标机器人还广泛运用于教学演示、物料搬运、码垛、机床上下料、点胶、喷涂、检测、3c 装配、包装等领域。

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2、两连杆平面臂动力学方程

注：连杆和电机看做整体。

d11=m1l2c1+m2(l21+l2c2+2l1lc2cos(θ2))+I1+I2d11=m1lc12+m2(l12+lc22+2l1lc2cos(θ2))+I1+I2
d12=d21=m2(l2c2+l1lc2cos(θ2))+I2d12=d21=m2(lc22+l1lc2cos(θ2))+I2
d22=m2l2c2+I2d22=m2lc22+I2

C=[hq2˙−hq1˙hq2˙+hq1˙0]C=[hq2˙hq2˙+hq1˙−hq1˙0]
其中， h=−m2l1lc2sin(q2)h=−m2l1lc2sin(q2)

g1=(m1lc1+m2l1)gcos(q1)+m2lc2gcos(q1+q2))g1=(m1lc1+m2l1)gcos(q1)+m2lc2gcos(q1+q2))
g2=m2lc2gcos(q1+q2)g2=m2lc2gcos(q1+q2)

完整动力学方程为：

d11q1¨+d12q2¨+c11q1˙+c12q2˙+g1=τ1d11q1¨+d12q2¨+c11q1˙+c12q2˙+g1=τ1

d21q1¨+d22q2¨+c21q1˙+c22q2˙+g2=τ2d21q1¨+d22q2¨+c21q1˙+c22q2˙+g2=τ2

其中，mimi 表示连杆的质量， lili 表示连杆的长度， lcilci 表示连杆质心的长度， IiIi 表示连杆关于其转动轴的转动惯量。gg 表示重力加速度矢量， qiqi 表示连杆的转动角度（转动关节的关节变量）。

两连杆机械臂是最简单的多连杆转动关节串联机器人，大量的控制算法研究和验证都是在两连杆机械臂上完成的。只要赋予其参数值，就可以完成控制算法的研究中模型的建模。

一组可行的赋值方案是：

g=9.81g=9.81

l1=l2=1l1=l2=1

lc1=lc2=0.5lc1=lc2=0.5

m1=m2=50m1=m2=50

I1=I2=10I1=I2=10

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3、带远程驱动的两连杆平面臂动力学方程

注：连杆和电机看做整体。

D(p)=[m1l2c1+m2l2c2+I1m2l1lc2cos(p2−p1)m2l1lc2cos(p2−p1)m2l2c2+I2]D(p)=[m1lc12+m2lc22+I1m2l1lc2cos(p2−p1)m2l1lc2cos(p2−p1)m2lc22+I2]

C=[m2l1lc2sin(p2−p1)q˙20amp;0−m2l1lc2sin(p2−p1)q˙1]C=[m2l1lc2sin(p2−p1)q˙2amp;00−m2l1lc2sin(p2−p1)q˙1]

G=[(m1lc1+m2l1)gcos(p1)m2lc2cos(p2)]G=[(m1lc1+m2l1)gcos(p1)m2lc2cos(p2)]

完整动力学方程为：

d11p1¨+d12p2¨+c11p1˙+g1=τ1d21p1¨+d22p2¨+c22p2˙+g2=τ2d11p1¨+d12p2¨+c11p1˙+g1=τ1d21p1¨+d22p2¨+c22p2˙+g2=τ2

其中，mimi 表示连杆的质量， lili 表示连杆的长度， lcilci 表示连杆质心的长度， IiIi 表示连杆关于其转动轴的转动惯量。gg 表示重力加速度矢量， pipi 表示连杆的转动角度（转动关节的关节变量）。

可以看到，当第二个连杆电机固定在基座上的时候，第一、二连杆之间的科氏力消失。

因此，具体分析的时候，当驱动该连杆的电机不在该连杆上的时候，要把连杆和电机拆开，分别进行计算。

参考文献

马克 W. 斯庞等著，贾振中译，机器人建模和控制（Robot Modeling and Control），机械工业出版社，2016.07

Bruno Siciliano etc 著，张国良等译，机器人学 建模、规划与控制（Robotics：Modelling，planning and Control），西安交通大学出版社，2015.11