40、公钥密码学的诞生

公钥密码学的诞生

1. 对称算法与公钥算法概述

在密码学的发展历程中，早期我们接触到的大多是对称算法。对称算法的特点是解密密钥与加密密钥相同，或者可以很容易地从加密密钥计算得出，比如矩阵加密。在经典密码学里，这两个密钥往往是完全一样的。

Diffie和Hellman的研究具有革命性意义。他们意识到自己论文的重要性，但也明白这并非该领域的最终定论。他们提出了开发公钥密码系统的一些技术，但问题仍有很大的探索空间。Diffie - Hellman方案公开地生成了密钥，这种做法启发了更多人去寻找类似的技术。公钥算法的共同特点是使用非对称密钥，即加密密钥和解密密钥不同，并且很难从一个密钥计算出另一个密钥。

2. RSA算法：来自MIT的解决方案

RSA算法由MIT的三位教授Ron Rivest、Adi Shamir和Len Adleman开发。该算法不需要在发送密文之前发送任何消息，接收者的加密密钥可以公开，而解密密钥很难从加密密钥计算得出。

RSA算法的诞生并非一帆风顺。开发者们最初的32次尝试都失败了，直到三年后才找到可行的方案。有一个有趣的轶事，Shamir在滑雪时突然有了新方案的灵感，但兴奋之下忘记了具体内容。

在了解RSA算法的工作原理之前，我们需要回顾一些数论知识。

2.1 Fermat小定理（1640）

如果p是质数，a不是p的倍数，那么$a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$。Fermat提出了这个定理，但未给出证明。后来，Euler在1760年对其进行了推广。

Euler的推广可以简洁地表示为：若$(m, n) = 1$，则$m