30、随机变量非线性函数的近似均值和方差及相关公式探讨

随机变量非线性函数的近似均值和方差及相关公式探讨

1. 随机变量非线性函数的基础概念

在统计学和概率论中，随机变量的非线性函数有着广泛的应用。对于一个具有有限均值 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ 的随机变量 $X$，考虑一个在 $\mu$ 附近可进行泰勒展开的光滑函数 $f(X)$。根据相关理论，我们可以得到其近似均值和方差的表达式：
- 期望：$E{ f(X)} \approx f(\mu) + \frac{1}{2} f’‘(\mu) \cdot \sigma^2$
- 方差：$Var{ f(X)} \approx ( f’(\mu))^2\sigma^2$

当 $f(X) = a + bX$（$a$，$b$ 为常数）时，上述表达式是精确的，因为所使用的有限泰勒展开包含了二次项。

特殊情况：对数变换

假设我们关注的随机变量 $X > 0$，但我们使用以 $\Delta$ 为底的对数进行处理，即 $Y := f(X) = \log_{\Delta}(X)$，$\Delta > 0$。问题是如何从 $Y$ 的观测值至少近似地恢复原始参数 $\mu := EX$ 和 $\sigma^2 := Var(X)$。通过计算可得：
- $EX \approx \Delta^{E(Y) + \frac{1}{2} (\log \Delta)Var(Y)}$
- $CV^2(X) \approx (\log \Delta)^2Var(Y)$

这里 $\log(\cdot)$ 表示自然对数。

2. 两个随机变量的情况

设 $(X_1, X_2)$