38、二元二次规划的可分非凸低估函数研究

二元二次规划的可分非凸低估函数研究

1. 可分非凸低估函数基础

在二元二次规划问题中，对于函数 (f) 的驻点 (\bar{x} := -\frac{1}{2}Q^{-1}L)（若 (Q) 为正则矩阵），函数 (l(t)_z) 在不同特殊情况下可简化表示：
[
l(t)_z (x) =
\begin{cases}
x^{\top}t + L^{\top}x & \text{if } z = 0 \
\frac{1}{4}1^{\top}t + (L + Q1)^{\top}x - \frac{1}{4}1^{\top}Q1 & \text{if } z = \frac{1}{2}1 \
((1 - 2\bar{x}) \cdot x + \bar{x}^2)^{\top}t - \bar{x}^{\top}Q\bar{x} & \text{if } z = \bar{x}
\end{cases}
]

2. 最优可分低估函数

选择合适的 (t) 对于由 (5) 式得到的下界强度至关重要。对于每个满足 (Q \succeq \text{Diag}(t)) 的 (t \in R^n)，该下界都是有效的。我们的目标是最大化由 (t) 诱导的下界，即求解以下问题：
[
\begin{align }
\max &\min_{x\in X} l(t)_z (x) \
\text{s.t.} & Q \succeq \text{Diag}(t)
\end{align }
]
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