二次规划 Quadratic programming

二次规划 Quadratic Programming

在人脸表情动画的研究中，大部分工作都是通过采集每一时刻的面部运动数据，并求出该数据在表情基中的线性组合。而这个计算问题是一个典型的二次规划问题

**二次规划 Quadratic programming（QP）**是求解某些涉及二次函数的数学优化问题的过程。具体地说，我们寻求优化（最小化或最大化）受变量线性约束的多元二次函数，二次规划是一种非线性规划。

这里的“Programming”指的是解决数学问题的正式程序。这种用法可以追溯到20世纪40年代，并不特别与最近的“计算机编程”概念相联系。为了避免混淆，一些从业者更喜欢使用“优化”一词，例如“二次优化”（quadratic optimization）。

Problem formulation

具有 $n$ 个变量和 $m$ 个约束的二次规划问题可以表述如下，给定：

• 一个 $n$ 维实向量 $c$
• 一个 $n\times n$ 维实对称矩阵（Hessian矩阵） $Q$
• 一个 $m\times n$ 维实矩阵 $A$
• 一个 $m$ 维实向量 $b$

二次规划的目标是找到一个 $n$ 维向量 $\mathbf{x}$ ，使得：

最小化 $\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}Q\mathbf{x}+{\mathbf{c}}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}$

受制于 $A\mathbf{x}⪯\mathbf{b}$

其中 ${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\mathbf{x}$ 的转置，符号 $A\mathbf{x}⪯\mathbf{b}$ 表示向量 $A\mathbf{x}$ 的每个条目小于或等于向量