前缀和与差分Java代码模板

1.什么是前缀和

这里只介绍一维前缀和与二维前缀和

即假设有一数列{an}\{ a_n\}{an​} ，那么前缀和就可以理解为 $a_1+a_2+a_3+...+a_i$。而前缀和数组即为存储以$a_1$为起点，$a_i$为终点的前缀和的数组。

举个例子：

若

$$b_1=a_1$$

$$b_2=a_1+a_2$$

$$b_3=a_1+a_2+a_3$$

$$...$$

$$b_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$$

即可得

$$b_1=a_1$$

$$b_2=b_1+a_2$$

$$b_3=b_2+a_3$$

$$...$$

$$b_n=b_{n-1}+a_n$$

则{bn}\{b_n\}{bn​}为{an}\{a_n\}{an​}的前缀和数组。

2.为什么需要前缀和？前缀和的作用是什么?

**前缀和是一种重要的预处理，能大大降低查询的时间复杂度。**何以见得？

举个例子：

假设我们需要计算 $a_1$~$a_n$的和，通常我们的实现方式是：用一个for循环来求。那如果我需求换了，我要算$a_7$ ~ $a_n$的和呢？那还是需要另一个for循环来求，那需求又换了，我要计算$a_4$ ~ $a_{n-4}$呢？如果有n个这样的需求，那我们就要写n个循环，时间复杂度就变高了。

结论：

所以我们通过前缀和，一次for循环把$a_1$ ~ $a_i$ 的和都算出来存到一个数组b中。

若我们需要求$a_l$ ~ $a_r$ 的和，只需要利用$b[r]-b[l-1]$ 即可得到$a_l$ ~ $a_r$的和，这个计算操作的时间复杂度为$O(1)$的。

证明：

$$b[r]=a[1]+a[2]+...+a[l-1]+a[l]+a[l+1]+...+a[r]$$

$$b[l-1]=a[1]+a[2]+...+a[l-1]$$

所以 $$b[r]-b[l-1]=a[l]+...+a[r]$$

3.二维前缀和

之前讲的都是一维的前缀和，你可能没有感觉到提升了多大的效率，到了二维数组，你可以自己脑补一下不用前缀和处理有多慢了。

二维前缀和相对难理解一点点，重要的是搞清楚前缀和数组存的是什么。

若有二维数组$a_{nm}$如下

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]$

那么$a_{nm}$的前缀和数组表示的是什么意思呢？记$b_{nm}$为$a_{nm}$的前缀和数组。

则$b[i][j]$表示的是以$a[1][1]$为左上角，以$a[i][j]$为右下角的矩形，矩形内所有元素的和。

举个例子

$b[2][3]$表示的就是下列所有元素的和

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\end{array}\right]$

类似的

$b[4][2]$表示的就是下列所有元素的和

$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\\ a_{31}& a_{32}\\ a_{41}& a_{42}\end{array}\right]$

结论

若我们要求$a[x_1][y_1]$为左上角，$a[x_2][y_2]$为右下角的矩形内所有元素的和，

即$b[x_2][y_2]-b[x_2][y_1-1]-b[x_1-1][y_2]+b[x_1-1][y_1-1]。$

证明就自己画个图就好了，还是比较简单的。记忆起来也比较容易，下标为1的都减一。

差分

1.什么是差分

可以理解为前缀和的逆运算。怎么理解？直接看个例子吧。

设有一差分数组{an}\{a_n\}{an​} ，其前缀和数组为{bn}\{b_n\}{bn​}

则差分数组

$$a_1=b_1$$

$$a_2=b_2-b_1$$

$$a_3=b_3-b_2$$

$$...$$

$$a_n=b_n-b_{n-1}$$

而前缀和数组

$$b_1=a_1$$

$$b_2=a_1+a_2$$

$$b_3=a_1+a_2+a_3$$

$$...$$

$$b_n=a_1+a_2+...+a_n$$

这下就能理解差分了吧。一定要弄明白前缀和再来看差分。

2.差分的作用

用于维护多次对序列的一个区间加上一个数，比如我要在$a_1$~$a_{n-5}$ 这一段上每一个元素加上$c$，不要再想着用多个循环了噢，类似于前缀和，多次循环过后时间复杂度会变高。

3.差分的使用

对于一维的差分而言，想要在某段区间{l,r}\{l,r\}{l,r}加上一个数$c$，只需要

$$a[l]+=c$$

$$a[r+1]-=c$$

即可。

证明：我们一定要理解，差分数组加上一个数后，对前缀和数组的影响！

假设$a_1$加上一个$c$，则前缀和数组{bn}\{b_n\}{bn​}会变成如下

$$b_1=a_1+c$$

$$b_2=a_1+c+a_2$$

$$b_3=a_1+c+a_2+a_3$$

$$...$$

$$b_n=a_1+c+a_2+...+a_n$$

可以发现，$b_1$ ~ $b_n$都加上溜了一个$c$，那如果此时 $a_2$ 减去一个$c$呢？

$$b_1=a_1+c$$

$$b_2=a_1+c+a_2-c=a_1+a_2$$

$$b_3=a_1+c+a_2-c+a_3=a_1+a_2+a_3$$

$$...$$

$$b_n=a_1+a_2+...+a_n$$

最后的结果就只有 $b_1$ 加了 $c$ 而已。更多的例子可以由读者自行测试加深印象。

所以，若 $a_i$ 加了一个数 $c$ ，那么对应的前缀和数组中 $b_i$ 以及它后面所有的数都会加上 $c$，同理，若$a_j$ 减去一个数 $c$ ，那么对应的前缀和数组中 $b_j$ 以及它后面所有的数都会减去 $c$ 。

4.二维差分

有了一维差分的基础，我们来看看二维差分。首先一定要记住二维前缀和的含义，这个对理解二维差分很关键。

如下，有一差分数组 {a44}\{a_{44}\}{a44​} ，它对应的前缀和数组为 {b44}\{b_{44}\}{b44​}，即

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& a_{24}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}& a_{43}& a_{44}\end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& b_{14}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}& b_{24}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}& b_{34}\\ b_{41}& b_{42}& b_{43}& b_{44}\end{array}\right]$

若此时 $a_{22}$ 加上一个数 $c$ ，那么前缀和数组会变成什么样呢？答案如下

$\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& b_{14}\\ b_{21}& b_{22}+c& b_{23}+c& b_{24}+c\\ b_{31}& b_{32}+c& b_{33}+c& b_{34}+c\\ b_{41}& b_{42}+c& b_{43}+c& b_{44}+c\end{array}\right]$

那继续 $a_{24}$ 减去一个数 $c$，则

$\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& b_{14}\\ b_{21}& b_{22}+c& b_{23}+c& b_{24}\\ b_{31}& b_{32}+c& b_{33}+c& b_{34}\\ b_{41}& b_{42}+c& b_{43}+c& b_{44}\end{array}\right]$

继续 $a_{42}$ 减去一个数 $c$，则

$\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& b_{14}\\ b_{21}& b_{22}+c& b_{23}+c& b_{24}\\ b_{31}& b_{32}+c& b_{33}+c& b_{34}\\ b_{41}& b_{42}& b_{43}& b_{44}-c\end{array}\right]$

最后 $a_{44}$ 加上一个数 $c$，即得

$\left[\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}& b_{14}\\ b_{21}& b_{22}+c& b_{23}+c& b_{24}\\ b_{31}& b_{32}+c& b_{33}+c& b_{34}\\ b_{41}& b_{42}& b_{43}& b_{44}\end{array}\right]$

而差分数组此时为

$\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& a_{14}\\ a_{21}& a_{22}+c& a_{23}& a_{24}-c\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& a_{34}\\ a_{41}& a_{42}-c& a_{43}& a_{44}+c\end{array}\right]$

如此我们可以看出，要想给以 $a_{x_1{y}_1}$ 为左上角，以 $a_{x_2{y}_2}$ 为右下角的小矩形中所有元素加上一个数 $c$，则需要

$$a[x_1][y_1]+=c$$

$$a[x_1][y_2+1]-=c$$

$$a[x_2+1][y_1]-=c$$

$$a[x_2+1][y_2+1]+=c$$

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