前缀和与差分（模板）

一维前缀和

1，Si = a1 + a2 +a3 + …… + ai;

        初始化：a0 = 0;

        公式：a[i] += a[i-1];

2，sum(L,R) = a(L) + a(L+1) + a(L+2) + …… + a(R);

        公式：sum(L,R) = a(R) - a(L-1);

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1010;

int n, m;
int a[N];

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		cin >> a[i];
		a[i] += a[i-1];
	} 
	
	while (m--){
		int l, r;
		cin >> l >> r;
		cout<< a[r]-a[l-1] << endl;
	}
	
	return 0;
}

 二维前缀和

1，s[i,j]如何计算？

        s[i,j] = s[i-1,j] + s[i,j-1] - s[i-1,j-1] + a[i,j];

2，(x1,y1), (x2,y2) 这一子矩阵中所有树的和该如何计算？

        sum = s[x2,y2] - s[x1-1][y2] - s[x2,y1-1] + s[x1-1,y1-1];

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
	// 输入数据 
	cin >> n >> m >>q;
	for (int i=1; i<=n; i++)
		for (int j=1; j<=m; j++)
			cin >> a[i][j];
	// 初始化s[][];
	for (int i=1; i<=n; i++)
		for (int j=1; j<=m; j++)
			s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] - s[i-1][j-1] + a[i][j];
	// 输入子矩阵的和
	while (q--){
		int x1, y1, x2, y2;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
		cout << s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1];
	} 
	return 0;
}

 一维差分

1，给定 a1, a2, a3, ……, an;

2，构造差分数组 b[];

        使得 ai = b1 + b2 + b3 + …… +bi;

核心操作：将 a[L ~ R] 全部加上C,

        等价于：b[L] += C,

                      b[R+1] -= C.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1010;

int n, m;
int a[N], b[N];

int main()
{
	cin >> n >> m;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		cin >> a[i];
		
	// 先初始化 b[] 
	while (m--){
		int l, r, c;
		cin >> l >> r >> c;
		b[l] += c;
		b[r+1] -= c;
	}
	
	for (int i=1;i<=n;i++){
		b[i] += b[i-1];			// 对 b[] 求前缀和
		a[i] += b[i];			// 对 a[] 进行差分操作
		cout << a[i] <<" ";		// 输出改变后的 a[] 
	}
	
	return 0;
}

 二维差分

1，给定二维数组 a[][];

2，构造差分矩阵 b[][], 使得 a[][] 是 b[][] 的二维前缀和；

核心操作：给以 (x1,y1) 为左上角，(x2,y2)为右下角的子矩阵中的所有数 a[i,j]，加上C;

         等价于：b[x1,y1] += C,

                        b[x1,y2+1] -= C,

                        b[x2+1,y1] -= C,

                        b[x2+1,y2+1] += C.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

int main()
{
	cin >> n >> m >> q;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++)
			cin >> a[i][j];
		
	// 先初始化 b[][]
	while (q--){
		int x1, y1, x2, y2, c;
		cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
		b[x1][y1] += c;
		b[x1][y2+1] -= c;
		b[x2+1][y1] -= c;
		b[x2+1][y2+1] += c;
	}
	
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=m;j++){
		b[i][j] = b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1] + b[i][j];	// 对 b[][] 求前缀和
		a[i][j] += b[i][j];											// 对 a[] 进行差分操作
		j != m? cout << a[i][j] <<" " : cout << a[i][j] <<endl;		// 输出改变后的 a[] 
	}
	
	return 0;
}