逻辑回归：损失和正则化技术的深入研究

逻辑回归：损失和正则化技术的深入研究

引言

逻辑回归是一种广泛应用于分类问题的统计模型，尤其在机器学习领域中占据着重要的地位。尽管其名称中包含"回归"，但逻辑回归本质上是一种分类算法。它的核心思想是在线性回归的基础上添加一个Sigmoid函数，将线性回归的输出映射到[0,1]区间，从而将连续值问题转换为概率分类问题[1]。
逻辑回归模型的训练过程与线性回归有两个关键区别：损失函数的选择和正则化的应用。本研究报告将深入探讨这两个方面，帮助读者理解逻辑回归模型的工作原理及其优化方法。

损失函数

逻辑回归与线性回归的损失函数差异

在线性回归中，我们通常使用平方损失函数（也称为L2损失函数）作为损失函数。平方损失函数计算预测值与实际值之间的平方差：
$$\text{Loss}=\frac{1}{2}(y_{\text{predicted}}-y_{\text{actual}}{)}^2$$
其中，$y_{\text{predicted}}$是模型的预测值，$y_{\text{actual}}$是实际值。
然而，在逻辑回归中，我们使用对数损失函数（也称为交叉熵损失）作为损失函数。对数损失函数的计算公式为：
$$\text{Loss}=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y_i\log ({\hat{y}}_i)+(1-y_i)\log (1-{\hat{y}}_i)]$$
其中：

• $m$是样本数量
• $y_i$是第$i$个样本的真实标签（0或1）
• ${\hat{y}}_i$是模型对第$i$个样本的预测概率
  对数损失函数在逻辑回归中的应用有以下几个原因：

1. 处理概率输出：由于逻辑回归的输出是概率（范围在0到1之间），对数损失函数可以有效地衡量预测概率与真实标签之间的差异。
2. 解决梯度下降问题：在线性回归中，使用平方损失函数在梯度下降过程中可能会遇到梯度消失或梯度爆炸的问题。而对数损失函数可以提供更稳定的梯度。
3. 处理类别不平衡：在类别不平衡的数据集中，对数损失函数可以给予少数类更多的权重，从而提高模型的性能。

对数损失函数的数学推导

对数损失函数的推导基于最大似然估计。假设我们有一个二分类问题，其中每个样本$i$都有一个特征向量$x_i$和一个标签$y_i$（0或1）。逻辑回归模型的预测概率可以表示为：
$${\hat{y}}_i=P(y_i=1|x_i)=\sigma (w^T{x}_i+b)$$
其中，$\sigma$是Sigmoid函数，$w$是权重向量，$b$是偏置项。
根据二项分布的似然函数，我们可以写出所有样本的似然函数：
L ( w , b ) = ∏ i = 1 m P ( y i ∣ x i ; w , b ) = ∏ i = 1 m y ^ i y i ( 1 − y ^ i ) 1 − y i L(w, b) = \prod_{i=1}^{m} P(y_i|x_i; w, b) = \prod_{i=1}^{m} \hat{y}_i^{y_i} (1 - \hat{y}_i)^{1 - y_i} L(w,b)=i=1∏m​P(yi​∣xi​;w,b)=i=1∏m​y^​iyi​​(1−