关于典型二阶系统固有频率

 

原文:https://zhidao.baidu.com/question/1053722019687557379.html

固有频率是物质的固有属性,对具体的物体,在不同的约束条件下,固有频率是一系列的值,为了方便区分,工程界和学术界认为地将这一系列值从小到大定义为一阶、二阶、三阶……n阶固有频率等。
识别固有频率,可以通过实验或者现成有限元软件分析的手段来完成,常见的目的是为了使结构在工作的时候避开这个固有频率,否则会引起共振。关于共振形态的预测,在有限元软件里可以通过查看振型来获得。当然,有些产品是利用使其工作在固有频率下来获得良好性能的,如超声电机ultrasonic motor。

 

工作的时候避开这个固有频率,否则会引起共振,参考典型二阶系统传递函数,在固有频率处,分母只有虚部,s=jw。

### 二阶系统的斜坡响应特性 对于二阶控制系统,在面对斜坡输入时,其响应特性和曲线特征可以从以下几个方面进行分析: #### 响应表达式 在理想情况下,一个典型二阶系统可以用传递函数表示为 \( G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2} \),其中 \( \omega_n \) 是自然频率,\( \zeta \) 是阻尼比。当该系统受到单位斜坡输入 \( R(s) = \frac{1}{s^2} \) 的作用时,输出 \( C(s) \) 可通过拉普拉斯变换得到: \[ C(s) = G(s)R(s) = \frac{\omega_n^2 / s^2}{s^2 + 2\zeta\omega_ns + \omega_n^2}. \] 反变换到时域后可得输出响应 \( c(t) \)[^3]。 #### 曲线特征 1. **稳态误差** 对于二阶系统而言,如果存在积分环节,则能够完全跟踪斜坡输入而无稳态误差;否则会有一定的稳态误差。具体来说,如果没有积分器,那么稳态误差等于 \( e_{ss} = \lim_{t \to \infty}(r(t)-c(t))=\frac{1}{K_v} \), 其中速度常数 \( K_v = \lim_{s \to 0}sG(s)=\frac{\omega_n^2}{2\zeta\omega_n} \). 这意味着随着阻尼比 ζ 减小或者 ωn 增大,稳态误差也会相应减少 [^3]. 2. **动态过程** - 当处于临界阻尼状态 (\( \zeta=1 \)) 或过阻尼状态 (\( \zeta>1 \)), 输出不会发生震荡而是单调上升直至接近最终值。 - 若为欠阻尼条件 (即 \( 0<\zeta<1 \)), 则会出现振荡现象直到趋于稳定。此时不仅有超调量还伴随着一定周期性的波动 . 3. **调整时间和峰值时间的影响因素** 调整时间通常定义为目标达到设定精度范围所需的时间长度;而对于含有振荡成分的情况,则需考虑首次到达最高点所花费的时间即所谓的'峰值时间'.这些参数均受制于系统的固有属性比如ωn 和ζ. 以下是利用MATLAB模拟不同阻尼条件下二阶系统针对单位斜坡输入产生的响应图形示例: ```matlab % 定义变量 wn = 1; zetavalues = [0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1]; % 不同的阻尼系数向量 figure(); hold on; for zeta = zetavalues sys = tf([wn^2], [1, 2*zeta*wn, wn^2]); % 创建传递函数模型 step(sys); % 绘制步进响应作为对比基础 end title('Unit Ramp Response of Second Order Systems with Different Damping Ratios'); xlabel('Time (seconds)'); ylabel('Amplitude'); legend('\zeta=0', '\zeta=0.2', '\zeta=0.4', '\zeta=0.6', '\zeta=0.8', '\zeta=1'); grid on; hold off; ``` 上述脚本生成了一系列具有代表性的图表来展示各种情形下系统的反应模式变化趋势[^4]. #### 结论 综上所述,通过对二阶系统施加斜坡激励后的表现形式展开探讨可知,此类结构具备较为复杂的动力学行为特点。特别是关于如何平衡好瞬态品质与长期精确度之间关系的问题值得深入研究探索。
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