凸函数2（斯坦福凸优化笔记6）

最新推荐文章于 2025-03-31 18:19:35 发布

原创

最新推荐文章于 2025-03-31 18:19:35 发布 · 4.5k 阅读

11 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#函数 #优化 #Jensen-不等式 #共轭函数 #拟凸运算

本文详细介绍了凸函数的相关概念，包括Jensen不等式、保凸运算如非负加权求和、复合仿射映射、逐点最大值等。此外，还探讨了共轭函数的定义及其性质，并提到了拟凸函数和对数凸函数的特性。内容深入浅出，适合对凸优化感兴趣的读者。

1 Jensen 不等式

基本不等式 $f(\theta x+(1-\theta)y)\leq \theta f(x)+(1-\theta)f(y)$
扩展到多项也成立。
$f(\theta _1x_1+ \cdots + \theta_k x_k) \leq \theta _1f(x_1)+ \cdots + \theta_k f(x_k)$ , $\theta _1+ \cdots + \theta_k =1$
一般形式：
事件 $x \in \mathbf{dom }f$ 发生的概率为1，函数 $f$ 是凸函数，当相应的期望存在时，有 $f(Ex) \leq Ef(x)$

2 保凸运算

注意，这里的保凸运算指凸函数的保凸运算，并不指凸集的保凸运算，要和上一章分开。
（1）非负加权求和
当 $w_i \geq 0,f_i$ 是凸函数时, $f=w_1f_1+ \cdots +w_mf_m$ 是凸函数。
当 $f_i$ 严格凸时， $f$ 严格凸。
此性质可以扩展到积分。
如果固定 $y \in A$ ，函数 $f(x,y)$ 是关于 $x$ 的凸函数。且对任意 $y \in A$ 有 $w(y) \geq 0$ ，则函数 $g(x)=\displaystyle\int\nolimits_{A}^{ }w(y)f(x,y)\ dy$ 是关于 $x$ 的凸函数。