数学优化与凸集3(斯坦福凸优化笔记3)

本文介绍了保凸运算,包括交集、仿射函数及其对凸集的影响,阐述了线性矩阵不等式和双曲锥的凸性。此外,讨论了正常锥与广义不等式的关系,以及最小元和极小元的概念。

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1 保凸运算

本节介绍一些保凸运算,用于将上一节介绍的基本凸集构造出其他凸集。

1 交集

交集是保凸的。无穷个凸集的交集也是凸的。

2 仿射函数

仿射函数:

如果一个函数有f:RnRm能表示成一个线性函数和一个常数的和的形式 ,即f(x)=Ax+b,其中ARm×n,bRm。一个凸集通过仿射变换仍然是凸的。反向也成立。同样,一个集合通过仿射变换能变成凸集,就说明原集合也是凸的。

最简单的例子就是伸缩和平移。(这点很好理解,伸缩和平移不会改变形状的凹凸性)

一个凸集向某几个坐标投影是凸的。(这个也比较好理解,一个凸的图形沿一个方向拍扁,必然是凸的。)

两个集合的和的定义为:
S1+S2={ x+yxS1,yS2}
两个集合的积定义为:
S1×S2={ (x,y)xS1,yS2}
如果S1S2是凸集,那么S1,S2的和,积都是凸集。
下面再举几个比较复杂的例子:

线性矩阵不等式的解:
A(x)=x1A1++xn

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