漫步凸分析五——函数运算

最新推荐文章于 2025-03-22 02:56:48 发布

会敲键盘的猩猩

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对于已知的凸函数，我们如何对他们进行使得产生的函数依然是凸的呢？目前已经证明了许多运算是保留凸性的，某些运算与平常分析中的运算是类似的，像函数的逐点加法，还有一些运算出自几何动机，像取函数集的凸包。通常来说许多构造函数可以表示成有约束的下确界，这启发我们可以用极值理论进行讨论。

特别地，当我们遇到一个形式复杂的函数，而需要去证明它是凸函数时，下面的定理是非常有用的。

定理5.1 令 $f$ 是从 $R^n$ 到 $(-\infty,+\infty]$ 的凸函数， $\varphi$ 是从 $R$ 到 $(-\infty,+\infty]$ 的凸函数并且是非递减的，那么 $h(x)=\varphi(f(x))$ 在 $R^n$ 上是凸的(其中我们令 $\varphi(+\infty)=+\infty$ )。

证明：对于 $R^n$ 中的 $x,y$ 以及 $0<\lambda<1$ ，我们有

f ((1 - λ) x + λ y) \leq (1 - λ) f (x) + λ f (y)

$f((1-\lambda)x+\lambda y)\leq(1-\lambda)f(x)+\lambda f(y)$

(定理4.1)，这个不等式两边由代入 $\varphi$ 中得

h ((1 - λ) x + λ y) \leq φ ((1 - λ) f (x) + λ f (y)) \leq (1 - λ) h (x) + λ h (y)

$h((1-\lambda)x+\lambda y)\leq\varphi((1-\lambda)f(x)+\lambda f(y))\leq(1-\lambda)h(x)+\lambda h(y)$

因此 $h$ 是凸的(定理4.1)。 $||$

根据定理5.1可以得出如果 $f$ 是 $R^n$ 上的正常凸函数，那么 $h(x)=e^{f(x)}$ 是 $R^n$ 上的正常凸函数。另外，当 $f$ 是非负凸函数时，对于 $p>1,h(x)=f(x)^p$ 是凸函数，为了证明它我们可以令

φ (ξ) = {ξ p 0 if ξ \geq 0 if ξ < 0

$\varphi(\xi)= \begin{cases} \xi^p&\text{if}\ \xi\geq0\\ 0&\text{if}\ \xi<0 \end{cases}$

特别地，当 $p\geq1$ 时， $h(x)=|x|^p$ 是 $R^n$ 上的凸函数( $|x|$ 是欧几里得范数)。如果 $g$ 是凹函数，那么 $h(x)=1/g(x)$ 是 $C=\{x|g(x)>0\}$ 凸函数。为了说明这个结论，在凸函数 $f=-g$ 上将 $\varphi$ 定义为

φ (ξ) = {- 1 / ξ + \infty if ξ < 0 if ξ \geq 0

$\varphi(\xi)= \begin{cases} -1/\xi&\text{if}\ \xi<0\\ +\infty&\text{if}\ \xi\geq0 \end{cases}$

取 $\varphi$ 是 $R$ 上的仿射函数且斜率为正的 $\lambda$ ，那么当 $f$ 是正常的凸函数并且 $\lambda,\alpha$ 为实数 $\lambda\geq0$ 时， $\lambda f+\alpha$ 是正常的凸函数。进一步基于定理5.1的实例会在定理15.3中给出。

定理5.2 如果 $f_1,f_2$ 是 $R^n$ 上的正常凸函数，那么 $f_1+f_2$ 是凸的。

证明：从定理4.1中很明显得出结论。 $||$

注意当且仅当 $f_1(x)<\infty,f_2(x)<\infty$ 时， $(f_1+f_2)(x)<\infty$ ，所以 $f_1+f_2$ 的有效定义域是 $f_1$ 和 $f_2$ 有效定义域的交集，当然交集可能为空，这时候 $f_1+f_2$ 将是不正常的。定理5.2假设中的正常就是为了避免 $f_1+f_2$ 的形式出现 $\infty-\infty$ 这种情况。

正常凸函数非负系数的线性组合 $\lambda_1f_1+\cdots+\lambda_mf_m$ 是凸的。

如果 $f$ 是有限凸函数， $C$ 是非空凸集，那么

f (x) + δ (x | C) = {f (x) + \infty if x \in C if x \notin C

$f(x)+\delta(x|C)= \begin{cases} f(x)&\text{if}\ x\in C\\ +\infty&\text{if}\ x\notin C \end{cases}$

其中 $\delta(\cdot|C)$ 是 $C$ 的指示函数，所以在 $f$ 上加上指示函数意味着限制 $f$ 的有效定义域。

在 $R^n$ 上构造凸函数的常用策略是在 $R^{n+1}$ 上构造凸集 $F$ ，然后取上境图为 $F$ 下界的函数，如下面定理说述。

定理5.3 令 $F$ 是 $R^{n+1}$ 上的任意凸集，令

f (x) = inf {μ | (x, μ) \in F}

$f(x)=\inf\{\mu|(x,\mu)\in F\}$

那么 $f$ 就是 $R^n$ 上的凸函数。

证明：从定理4.2中可以明显看出来。(注意实数空集合的下确界是 $+\infty$ ，这个规定对该定理非常有用) $||$

作为定理5.3中方法的第一个应用，我们介绍函数运算，它将上境图的加法对应到 $R^{n+1}$ 上的集合。

定理5.4 令 $f_1,\ldots,f_m$ 是 $R^n$ 上的正常凸函数，令

f (x) = inf {f 1 (x 1) + \dots + f m (x m) | x i \in R n, x 1 + \dots + x m = x}

$f(x)=\inf\{f_1(x_1)+\cdots+f_m(x_m)|x_i\in R^n,x_1+\cdots+x_m=x\}$

那么 $f$ 是 $R^n$ 上的凸函数。

证明：令 $F_i=\text{epi}f_i,F=F_1+\cdots+F_m$ ，那么 $F$ 是 $R^{n+1}$ 的凸集。根据定义，当且仅当存在 $x_i\in R^n,\mu_i\in R$ ，使得 $\mu_i\geq f(x_i),\mu=\mu_1+\cdots+\mu_m,x=x_1+\cdots+x_m$ 时， $(x,\mu)\in F$ ，那么定理中定义的函数 $f$ 就是根据定理5.3 从 $F$ 中得到的函数。 $||$

定理5.4中的函数 $f$ 用 $f_1\Box f_2\Box\cdots\Box f_m$ ，运算 $\Box$ 叫做卷积下确界(infimal convolution)，这个术语是基于以下事实：当仅涉及两个函数时， $\Box$ 可以表示成

(f □ g) (x) = inf y {f (x - y) + g (y)}

$(f\Box g)(x)=\inf_y\{f(x-y)+g(y)\}$

这和卷积积分的经典公式是类似的，卷积下确界和凸函数加法运算是对偶的，我们会在16节进行解释。

对于某点 $a\in R^n$ ，如果 $g=\delta(\cdot|a)$ (其中如果 $x\neq a$ ，那么 $\delta(x|a)=\infty$ ，而且 $\delta(a|a)=0$ )，那么 $(f\Box g)(x)=f(x-a)$ ，因此 $f\Box\delta(\cdot|a)$ 是这样的函数，它的上境图将 $f$ 的上境图沿水平方向平移 $a$ 得到。对任意函数 $g,h(y)=f(-y)$ ，卷积下确界 $f\Box g$ 可以表示成 $g$ 加平移 $h\Box\delta(\cdot|x)$ (也就是平移量为 $x$ 得到的函数)在 $R^n$ 上的下确界， $f\Box g$ 的有效定义域是 $\text{dom}f$ 和 $\text{dom}g$ 。

取 $f$ 为欧几里得范数， $g$ 是凸集 $C$ 上的指示函数，我们可以得到

(f □ g) (x) = inf y {| x - y | + δ (y | C)} = inf y \in C | x - y | = d (x, C)

$(f\Box g)(x)=\inf_y\{|x-y|+\delta(y|C)\}=\inf_{y\in C}|x-y|=d(x,C)$

这就建立了距离函数 $d(\cdot,C)$ 的凸性。

卷积下确界的其他实例将会在推论9.2.2中给出。

卷积下确界不一定确保凸函数正常，因为定理5.4公式中的下确界可能是 $-\infty$ 。按这个公式定义的不正常函数卷积下确界是不存在，这是因为不能存在 $\infty-\infty$ 。然而， $f_1\Box f_2$ 可以用上境图加法的形式直接在从 $R^n$ 到 $[-\infty,+\infty]$ 的函数 $f_1,f_2$ 上进行定义：

(f 1 □ f 2) (x) = inf {μ | (x, μ) \in (epi f 1 + epi f 2)}

$(f_1\Box f_2)(x)=\inf\{\mu|(x,\mu)\in(\text{epi}f_1+\text{epi}f_2)\}$

作为从 $R^n$ 到 $[-\infty,+\infty]$ 上的函数运算，卷积下确界对交换律，结合律和凸性都满足，函数 $\delta(\cdot|0)$ 就像这种运算的单位元素。

我们已经指出非负左标量乘法保留凸性

(λ f) (x) = λ (f (x))

$(\lambda f)(x)=\lambda(f(x))$

右标量乘法有同样的运算，对于 $R^n$ 上任意凸函数 $f$ 和 $\lambda,0\leq\lambda<\infty$ ，我们将 $f\lambda$ 定义成从定理5.3得到的凸函数，其中 $F=\lambda(\text{epi}f)$ ，因此

(f λ) (x) = λ f (λ - 1 x), λ > 0

$(f\lambda)(x)=\lambda f(\lambda^{-1}x),\quad \lambda>0$

而对于 $\lambda=0$ 我们有

(f 0) (x) = δ (x | 0), f \equiv̸ + \infty

$(f0)(x)=\delta(x|0),\quad f\not\equiv+\infty$

(如果 $f\equiv+\infty$ ，那么很明显 $f0=f$ )。当且仅当对于所有的 $\lambda>0$ ， $f\lambda=f$ 时，函数 $f$ 是正齐次的。

令 $h$ 是 $R^n$ 中的任意凸函数，并令 $F$ 是由epi $h$ 生成的 $R^{n+1}$ 中的凸锥，应用定理5.3到 $F$ 上所得到的函数在 $R^{n+1}$ 中有一个包含原点的凸锥(如它的上境图)，这个函数 $f$ 是最大的满足 $f(0)\leq0,f\leq h$ 的正齐次凸函数，自然而然地，我们将称这个 $f$ 由 $h$ 生成的正齐次凸函数。因为 $F$ 由原点和集合 $\lambda(\text{epi}h)$ 的并组成，其中 $\lambda>0$ ，所以当 $h\not\equiv+\infty$ 我们有

f (x) = inf {(h λ) (x) | λ \geq 0}

$f(x)=\inf\{(h\lambda)(x)|\lambda\geq0\}$

当然，如果 $x\neq0$ 或者 $h(0)<+\infty$ ，那么 $\lambda=0$ 可以从下确界中忽略掉。

对于 $R^n$ 上的任意正常凸函数 $f$ ， $R^{n+1}$ 上定义为

g (λ, x) = {(f λ) (x) + \infty if λ \geq 0 if λ < 0

$g(\lambda,x)= \begin{cases} (f\lambda)(x)&\text{if}\ \lambda\geq0\\ +\infty&\text{if}\ \lambda<0 \end{cases}$

的函数 $g$ 是正齐次正常凸函数，正齐次凸函数由

h (λ, x) = {f (x) + \infty if λ = 1 if λ \neq 1

$h(\lambda,x)= \begin{cases} f(x)&\text{if}\ \lambda=1\\ +\infty&\text{if}\ \lambda\neq1 \end{cases}$

特别地，对任意 $x\in\text{dom}f$ ， $\varphi(\lambda)=(f\lambda)(x)$ 是 $\lambda\geq0$ 的正常凸函数。

$R^n$ 上非空凸集 $C$ 的gauge是由 $\delta(\cdot|C)$ +1生成的正齐次凸函数，事实上对于 $h(x)=\delta(x|C)+1$ 我们有 $(h\lambda)(x)=\delta(x|\lambda C)+\lambda$ ，这样的话

inf {(h λ) (x) | λ \geq 0} = inf {λ \geq 0 | x \in λ C} = γ (x | C)

$\inf\{(h\lambda)(x)|\lambda\geq0\}=\inf\{\lambda\geq0|x\in\lambda C\}=\gamma(x|C)$

定理5.5 任意凸函数集的逐点上确界是凸的。

证明：这个定理的证明基于凸集的并是凸的这个事实。实际上，如果

f (x) = sup {f i (x) | i \in I}

$f(x)=\sup\{f_i(x)|i\in I\}$

那么 $f$ 的上境图是函数 $f_i$ 上境图的交，故得证。 $||$

$R^n$ 上集合 $C$ 的支撑函数 $\delta^*(\cdot|C)$ 的凸性由定理5.5可以得出，因为根据定义这个函数是某个线性函数集的逐点上确界，即 $y$ 在 $C$ 上变化时的函数 $\langle\cdot,y\rangle$ 。

下面进一步解释定理5.5，考虑这样一个函数 $f$ ，它对每个向量 $x=(\xi_1,\ldots,\xi_n)$ 分配一个数值，这个值就是 $x$ 中最大元素 $\xi_j$ ，根据定理5.5可知这个函数 $f$ 是凸的，因为它是线性函数 $\langle x,e^j\rangle$ 的逐点上确界，其中 $j=1,\ldots,n,e_j$ 是 $n\times n$ 单位矩阵的第 $j$ 行。仔细观察也能看出 $f$ 是正齐次的；事实上 $f$ 是单纯形体

C = {y = (η 1, \dots, η n) | η j \geq 0, η 1 + \dots + η n = 1}

$C=\{y=(\eta_1,\ldots,\eta_n)|\eta_j\geq0,\eta_1+\cdots+\eta_n=1\}$

的支撑函数。

函数

k (x) = max {| ξ j | | j = 1, \dots, n}

$k(x)=\max\{|\xi_j||j=1,\ldots,n\}$

的凸性同样利用定理5.5看出来，这个函数称为 $R^n$ 上的切比雪夫范数(Tchebycheff norm)。后面这个函数是凸集

D = {y = (η 1, \dots, η n) | | η 1 | + \dots + | η n | \leq 1}

$D=\{y=(\eta_1,\ldots,\eta_n)||\eta_1|+\cdots+|\eta_n|\leq1\}$

的支撑函数，同时也是 $n$ 为立方体

E = {x = (ξ 1, \dots, ξ n) | - 1 \leq ξ j \leq 1, j = 1, \dots, n}

$E=\{x=(\xi_1,\ldots,\xi_n)|-1\leq\xi_j\leq1,j=1,\ldots,n\}$

的gauge。
(任何非负支撑函数是某个包含原点的闭凸集的gauge，至于相反的结论将会在14 节给出)。

非凸函数 $g$ 的凸包就是函数 $f=\text{conv}\ g$ ，它可以从定理5.3中得到，其中

F = conv (epi g)

$F=\text{conv}(\text{epi}\ g)$

它是 $g$ 的最大凸函数，根据定理2.3，点 $(x,\mu)$ 属于 $F$ 当且仅当它可以表示凸组合

(x, μ) = λ 1 (x 1, μ 1) + \dots + λ m (x m, μ m) = (λ 1 x 1 + \dots + λ m x m, λ 1 μ 1 + \dots + λ m μ m)

$\begin{align*} (x,\mu) &=\lambda_1(x_1,\mu_1)+\cdots+\lambda_m(x_m,\mu_m)\\ &=(\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_m,\lambda_1\mu_1+\cdots+\lambda_m\mu_m) \end{align*}$
其中

(xi,μi)∈epi g $(x_i,\mu_i)\in\text{epi}\ g$ (即

g(xi)≤μi∈R $g(x_i)\leq\mu_i\in R$ )，因此

f (x) = inf {λ 1 g (x 1) + \dots + λ m g (x m) | λ 1 x 1 + \dots + λ m x m = x}

$f(x)=\inf\{\lambda_1g(x_1)+\cdots+\lambda_mg(x_m)|\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_m=x\}$

(假设 $g$ 没有取 $-\infty$ 的值，这样的话求和运算就非常清晰)。

任意 $R^n$ 上凸函数集 $\{f_i|i\in I\}$ 的凸包表示成

conv {f i | i \in I}

$\text{conv}\{f_i|i\in I\}$

它是函数集逐点下确界的凸包，即它是通过定理5.3从凸包 $F$ 中得出的函数 $f$ ， $F$ 就是函数 $f_i$ 上境图的并，它是 $R^n$ 上使得对所有 $x\in R^n,i\in I$ ， $f(x)\leq f_i(x)$ 的最大凸函数 $f$ (不需要是正常的)。

定理5.6 令 $\{f_i|i\in I\}$ 是 $R^n$ 上的正常凸函数集，其中 $I$ 是任意索引集，令 $f$ 是该集的凸包，那么

f (x) = inf {Σ i \in I λ i f i (x i) | Σ i \in I λ i x i = x}

$f(x)=\inf\{\Sigma_{i\in I}\lambda_if_i(x_i)|\Sigma_{i\in I}\lambda_ix_i=x\}$

其中下确界是在所有表示成 $x$ 的 $x_i$ 凸组合上取得，这样的话只有有限多个系数 $\lambda_i$ 是非零的。(如果我们将 $x_i$ 限制到 $\text{dom}\ f_i$ 上，公式依然成立)

证明：根据定义， $f(x)$ 是使得 $(x,\mu)\in F$ 的值 $\mu$ 的下确界，其中 $F$ 是非空凸集 $C_i=\text{epi}\ f_i$ 并的凸包。根据定理3.3， $(x,\mu)\in F$ 当且仅当 $(x,\mu)$ 可以表示成如下是形式的有限凸组合

(x, μ) = Σ i \in I λ i (x i, μ i) = (Σ i \in I λ i x i, Σ i \in I λ i μ i)

$(x,\mu)=\Sigma_{i\in I}\lambda_i(x_i,\mu_i)=(\Sigma_{i\in I}\lambda_ix_i,\Sigma_{i\in I}\lambda_i\mu_i)$

其中 $(x_i,\mu_i)\in C_i$ (只有有限多个系数是非零的)。因此 $f(x)$ 是 $\Sigma_{i\in I}\lambda_i\mu_i$ 在所有表示成 $x$ 的有限凸组合 $\Sigma_{i\in I}\lambda_i\mu_i$ 上的下确界，对于所有的 $i,\mu_i\geq f_i(x_i)$ 。这和定理中的下确界是一样的。 $||$

当所有函数 $f_i$ 形式如下时

f i (x) = δ (x | a i) + α i = {α i + \infty if x = a i if x \neq a i

$f_i(x)=\delta(x|a_i)+\alpha_i= \begin{cases} \alpha_i&\text{if}\ x=a_i\\ +\infty&\text{if}\ x\neq a_i \end{cases}$

其中 $a_i,\alpha_i$ 分别是 $R^n,R$ 中的一个固定值，定理5.6将会发挥作用，此时 $f$ 是满足

f (a i) \leq α i \forall i \in I

$f(a_i)\leq\alpha_i\quad\forall i\in I$

的最大凸函数，而且我们有

f (x) = inf {Σ i \in I λ i α i | Σ i \in I λ i a i = x}

$f(x)=\inf\{\Sigma_{i\in I}\lambda_i\alpha_i|\Sigma_{i\in I}\lambda_ia_i=x\}$
其中下确吉是在所有表示成

x $x$ 的

ai $a_i$ 凸组合(只有有限个是非零系数)上取值。

定理5.6的增强版本将会在17节给出，它是Caratheodory定理的一个结论。

定理5.6中的公式也可以表示成卷积下确界，为了简化符号，我们假设 $I={1,\ldots,m}$ ，那么利用定理5.3， $f$ 可以从集合

F = conv {C 1, \dots, C m} = \cup {λ 1 C 1 + \dots + λ m C m}

$F=\text{conv}\{C_1,\ldots,C_m\}=\cup\{\lambda_1C_1+\cdots+\lambda_mC_m\}$

中得到，其中并运算是对集合 $C_i=\text{epi}\ f_i$ 的所有凸组合而言的(定理3.3)。但是 $f_1\lambda_1\Box\cdots\Box f_m\lambda_m$ 是利用定理5.3从 $R^{n+1}$ 上凸集合 $\lambda_1C_1+\cdots+\lambda_mC_m$ 中得到的，取 $R^{n+1}$ 上上境图的并意味着取相应函数的逐点下确界，因此当 $f_1,\ldots,f_m$ 是正常凸函数时， $f=\text{conv}\{f_1,\ldots,f_m\}$ 也可以由

f (x) = inf {(f 1 λ 1 □ \dots □ f m λ m) (x) | λ i \geq 0, λ 1 + \dots + λ m = 1}

$f(x)=\inf\{(f_1\lambda_1\Box\cdots\Box f_m\lambda_m)(x)|\lambda_i\geq0,\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1\}$

给出。

$R^n$ 上所有凸函数集是一个完全格(complete lattice)，相对于逐点序(对于所有的 $x$ ，当且仅当 $f(x)\leq g(x)$ 时， $f\leq g$ )，我们可以将其看成偏序集(partially ordered set)。凸函数 $f_i$ 族的最大下界是 $\text{conv}\{f_i|i\in I\}$ (相对于这个特定的偏序集!)，而最小上界是 $\sup\{f_i|i\in I\}$ 。

下面的定理涉及到线性变换。

定理5.7 令 $A$ 是从 $R^n$ 到 $R^m$ 的线性变换，那么对于 $R^m$ 上的每个凸函数 $g$ ，定义为

(g A) (x) = g (A x)

$(gA)(x)=g(Ax)$

的函数 $gA$ 在 $R^n$ 上是凸的。对于 $R^n$ 上的每个凸函数 $h$ ，定义为

(A h) (y) = inf {h (x) | A x = y}

$(Ah)(y)=\inf\{h(x)|Ax=y\}$

的函数 $Ah$ 在 $R^m$ 上是凸的。

证明：利用定理4.2的判定准则可以直接证明第一个结论。 $f=Ah$ 的凸性通过将定理5.3应用到 $h$ 上境图的像 $F$ 上即可，其中上境图到 $F$ 的像对应的关系是从 $R^{n+1}$ 到 $R^{m+1}$ 的线性变换 $(x,\mu)\to(Ax,\mu)$ 。 $||$

定理5.7中的函数 $Ah$ 叫做 $h$ 在 $A$ 下的像，而 $gA$ 叫做 $g$ 在 $A$ 下的逆像，这个术语表明 $g,h$ 是凸集的指示函数。

考虑运算 $h\to Ah$ 的一个指示函数实例，我们这里给出的 $A$ 是一个投影矩阵，对于

A : x = (ξ 1, \dots, ξ m, ξ m + 1, \dots, ξ n) \to (ξ 1, \dots, ξ m)

$A:x=(\xi_1,\ldots,\xi_m,\xi_{m+1},\ldots,\xi_n)\to(\xi_1,\ldots,\xi_m)$

我们有

(A h) (ξ 1, \dots, ξ m) = inf ξ m + 1, \dots, ξ m h (ξ 1, \dots, ξ m, ξ m + 1, ξ n)

$(Ah)(\xi_1,\ldots,\xi_m)=\inf_{\xi_{m+1},\ldots,\xi_m}h(\xi_1,\ldots,\xi_m,\xi_{m+1},\xi_n)$

根据定理，当 $h$ 是凸时，在 $y=(\xi_1,\ldots,\xi_m)$ 里上面的函数是凸的。

当 $A$ 是非奇异时， $Ah=hA^{-1}$ 。

上境图的部分和可以用来定义 $R^n$ 上无穷多个凸函数交换结合二元运算。一个具体的实例是部分卷积下确界

h (y, z) = inf u {f (y, z - u) + g (y, u)}

$h(y,z)=\inf_u\{f(y,z-u)+g(y,u)\}$

其中 $x=(y,z),y\in R^m,z\in R^p,m+p=n$ 。

对于凸集的情况，自然有四个交换结合二元运算，当集合是包含原点的锥时，这四个运算可以简化为两个，他们是从形如

K = {(λ, x) | λ \geq 0, x \in λ C} \subset R n + 1

$K=\{(\lambda,x)|\lambda\geq0,x\in\lambda C\}\subset R^{n+1}$

凸锥的部分和得到的，这个锥对应于 $R^n$ 中的凸集 $C$ ；参看定理3.6的讨论。当集合 $C$ 用上境图替换时，很自然地可以在 $R^n$ 的所有凸函数中得出八个类似的交换结合二元运算，特别地，我们将每个凸函数 $f$ 和凸锥 $K$ (它是 $h$ 生成的 $R^{n+1}$ 中正齐次凸函数的上境图，其中 $h(\lambda,x)=f(x)+\delta(\lambda|1)$ )联系起来，如果 $f$ 不恒等于 $+\infty$ ，

K = {(λ, x, μ) | λ \geq 0, x \in R n, μ \geq (f λ) (x)} \subset R n + 2

$K=\{(\lambda,x,\mu)|\lambda\geq0,x\in R^n,\mu\geq(f\lambda)(x)\}\subset R^{n+2}$

(如果 $f=+\infty$ ，那么 $K$ 是非负的 $\mu$ 轴)。在 $R^{n+2}$ 中通过对三个参数 $\lambda,,\mu$ 进行不同的组合得到八种部分加法。对于每种情况，我们将锥 $K_1,K_2$ 的部分和 $K$ 对应于 $R^n$ 中两个凸函数 $f_1,f_2$ ，然后我们将定理5.3应用到

F = {(x, μ) | (1, x, μ) \in K}

$F=\{(x,\mu)|(1,x,\mu)\in K\}$

得到 $f$ ，最终的运算 $(f_1,f_2)\to f$ 明显就是交换和结合。用这种方式定义的四中运算就是八种里面的，即，只在 $\mu$ 上相加得到 $f_1+f_2$ ，在 $x,\mu$ 上相加得到 $f_1\Box f_2$ ，在 $\lambda$ 上相加得到 $\text{conv}\{f_1,f_2\}$ ，都不相加得到 $f_1,f_2$ 的逐点最大，余下的四种运算在下面的定理中进行描述。(当然，这里 $\max\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m\}$ 表示 $m$ 个实值 $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ 的最大值)

定理5.8 令 $f_1,\ldots,f_m$ 是 $R^n$ 上的正常凸函数，那么下面的也是凸函数：

f (x) = inf {max {f 1 (x 1), \dots, f m (x m)} | x 1 + \dots + x m = x} g (x) = inf {(f 1 λ 1) (x) + \dots + (f m λ m) (x) | λ i \geq 0, λ 1 + \dots + λ m = 1} h (x) = inf {max {(f 1 λ 1) (x), \dots, (f m λ m) (x)} | λ i \geq 0, λ 1 + \dots + λ m = 1} h (x) = inf {max {λ 1 f 1 (x 1), \dots, λ m f m (x m)}}

$\begin{align*} &f(x)=\inf\{\max\{f_1(x_1),\ldots,f_m(x_m)\}|x_1+\cdots+x_m=x\}\\ &g(x)=\inf\{(f_1\lambda_1)(x)+\ldots+(f_m\lambda_m)(x)|\lambda_i\geq0,\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1\}\\ &h(x)=\inf\{\max\{(f_1\lambda_1)(x),\ldots,(f_m\lambda_m)(x)\}|\lambda_i\geq0,\lambda_1+\cdots+\lambda_m=1\}\\ &h(x)=\inf\{\max\{\lambda_1f_1(x_1),\ldots,\lambda_mf_m(x_m)\}\} \end{align*}$

其中最后的下确界在所有表示成 $x$ 的凸组合 $x=\lambda_1x_1+\cdots+\lambda_mx_m$ 上取值。