数学优化与凸集4（斯坦福凸优化笔记4）

1 分离与支撑超平面

（图片来自斯坦福Boyd Convex Optimization）
假设$C$和$D$是两个不相交的凸集，那么一定存在$a \neq 0$的超平面$a^Tx=b$将凸集分隔开，使$C$中点满足$a^Tx \leq b$,而$D$中点满足$a^Tx \geq b$。注意，逆定理能被超平面分离说明不相交是不成立的。
严格分离：如果存在$a \neq 0$的超平面$a^Tx=b$将凸集分隔开，使$C$中点满足$a^Tx < b$,而$D$中点满足$a^Tx > b$，我们称超平面将凸集严格分离。对于不相交的凸集来说，不一定能被严格分离，但是通常是可以构造出严格分离的。

（图片来自斯坦福Boyd Convex Optimization）
设$C \subseteq R^n$而$x_0$是其边界$\mathbf{bd}C$上一点，若$a \neq 0$，并且对于任意$x \in C$满足$a^Tx \leq a^Tx_0$，那么称超平面$\{x \mid a^Tx = a^Tx_0\}$为集合$C$在$x_0$点处的支撑超平面。（有点像切线的感觉）对于任意非空的凸集边界上任意一点一定存在支撑超平面。

2 对偶锥

令$K$是一个锥，集合 K∗