数学优化与凸集4（斯坦福凸优化笔记4）

最新推荐文章于 2025-03-16 06:30:00 发布

原创

最新推荐文章于 2025-03-16 06:30:00 发布 · 9.2k 阅读

27 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#斯坦福 #凸优化 #Boyd #超平面 #对偶锥

本文介绍了斯坦福大学Boyd教授的凸优化课程内容，重点讲解了分离超平面的概念，如何通过超平面严格分离不相交的凸集，以及支撑超平面的定义。此外，还探讨了对偶锥的几何意义和性质，包括正常锥的对偶性和最小元的对偶性质，特别强调了在凸集情况下极小元的特性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1 分离与支撑超平面

（图片来自斯坦福Boyd Convex Optimization）
假设 $C$ 和 $D$ 是两个不相交的凸集，那么一定存在 $a \neq 0$ 的超平面 $a^Tx=b$ 将凸集分隔开，使 $C$ 中点满足 $a^Tx \leq b$ ,而 $D$ 中点满足 $a^Tx \geq b$ 。注意，逆定理能被超平面分离说明不相交是不成立的。
严格分离：如果存在 $a \neq 0$ 的超平面 $a^Tx=b$ 将凸集分隔开，使 $C$ 中点满足 $a^Tx < b$ ,而 $D$ 中点满足 $a^Tx > b$ ，我们称超平面将凸集严格分离。对于不相交的凸集来说，不一定能被严格分离，但是通常是可以构造出严格分离的。
支撑超平面
（图片来自斯坦福Boyd Convex Optimization）
设 $C \subseteq R^n$ 而 $x_0$ 是其边界 $\mathbf{bd}C$ 上一点，若 $a \neq 0$ ，并且对于任意 $x \in C$ 满足 $a^Tx \leq a^Tx_0$ ，那么称超平面 $\{x \mid a^Tx = a^Tx_0\}$ 为集合 $C$ 在 $x_0$ 点处的支撑超平面。（有点像切线的感觉）对于任意非空的凸集边界上任意一点一定存在支撑超平面。