简单谐振回路

一、简单谐振回路分析

• 阻抗分析

类型	并联谐振回路	串联谐振回路
示意图
阻抗与导纳${}_{对应的复数相位角度范围：(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}$	$Y(\omega )=G+\frac{1}{j\omega L}+j\omega C$	$Z(\omega )=r+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}$)
谐振角频率${}_{（【阻抗/导纳】虚部为0）}$	${\omega }_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}$	${\omega }_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}$
谐振阻抗	最大（理想谐振相当于开路）	最小（理想谐振相当于短路）
品质因数（表征器件损耗）	$Q=R/\rho {，}_{其中R=1/G;\rho ={\omega }_{o}L或\rho =1/{\omega }_{o}C}$	$Q=\rho /r$

两者在理想情况下的交流等效回路在去掉电源后是一致的

• 幅频特性${}_{（呈钟形）}$

类型	并联谐振回路	串联谐振回路
通频带${}_{（Q\uparrow ⟷B{W}_{3dB}\downarrow ）}$	$B{W}_{3dB}=\frac{f_0}{Q}$	$B{W}_{3dB}=\frac{f_0}{Q}$
矩形系数$B{W}_{0.1}/B{W}_{3dB}$${}_{3dB指功率减半幅值降为最高点的1/\sqrt{2}}$	9.96	9.96

高选择性$\leftrightarrows$宽通频带，无法兼得

• 相频特性（极限分析）

类型	并联谐振回路（负斜率）	串联谐振回路（正斜率）
失谐状态${}_{\omega <{\omega }_o}$	回路呈现感性	回路呈现容性
失谐状态${}_{\omega >{\omega }_o}$	回路呈现容性	回路呈现感性

二、实际谐振回路分析

• 阻抗串并转换
  
  $$R_p=r_s(1+Q^2);{X_p}_{(电抗=感抗-容抗)}=X_s(1+\frac{1}{Q^2})$$

式中$Q=X_s/R_s=R_p/X_p$;

• 实际并联谐振回路分析（有耗电感$L$与无耗电容$C$，$r$为$L$串联损耗电阻）
  $$谐振频率：{\omega }_p=\sqrt{\frac{1}{LC}}\sqrt{1-\frac{C{r}^2}{L}}={\omega }_o\sqrt{1-\frac{C{r}^2}{L}}={\omega }_o\sqrt{1-\frac{1}{Q_0^2}}$$

式中 ${\omega }_o=\frac{1}{\sqrt{LC}}，Q_0=\frac{{\omega }_{0}L}{r}$

• 有载品质因数
  

1）加入有内阻的$R_s$电源$I_s$，以及负载$R_L$；
2）图中$R_p\approx r{Q}_0^2，L_p\approx L$。

$$有载品质因数：Q_e=\frac{R_T}{\rho }=\frac{Q_0}{1+\frac{R_p}{R_s}+\frac{R_p}{R_L}}$$

1）$R_T=R_S\parallel R_L\parallel R_P$；
2）$\rho ={\omega }_{o}L=\frac{1}{{\omega }_{o}C}$。

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