【数据结构】二叉树排序

目录

一、引言：神奇的排序魔法

二、什么是二叉树排序

（一）二叉树的基本概念

（二）二叉搜索树的特性

（三）二叉树排序的原理

三、二叉树排序是如何工作的

（一）插入操作

（二）构建二叉搜索树

（三）中序遍历得到排序结果

四、代码实现

（一）节点类的定义

（二）插入节点的方法

（三）中序遍历的方法

（四）完整的二叉树排序代码示例

五、二叉树排序的性能分析

（一）时间复杂度

（二）空间复杂度

（三）与其他排序算法的比较

六、应用场景

（一）数据检索

（二）动态数据处理

七、总结

（一）回顾二叉树排序的要点

（二）展望未来学习方向

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一、引言：神奇的排序魔法

        在生活里，我们常常会遇到需要整理东西的情况。想象一下，你有一个堆满了各种书籍的书架，找某一本书的时候，却发现所有书都杂乱无章地摆放着，找起来十分费劲。这时，你可能会选择将书按照类别、大小或者作者等方式进行排序整理，这样下次找书就会轻松很多。

        而在计算机的世界里，数据就如同书架上的书，也需要进行排序，以便更高效地处理和查找。今天，我要带大家走进数据结构中一种神奇的排序方式 —— 二叉树排序 ，它就像是拥有神奇魔力一样，能把无序的数据变得井井有条。 不管你是计算机专业的学生，还是对编程感兴趣的爱好者，相信在了解二叉树排序的过程中，你都会被它的奇妙所吸引，发现其中独特的魅力。

二、什么是二叉树排序

（一）二叉树的基本概念

        二叉树，从名字就能猜到它的基本形态，是一种每个节点最多有两个子节点的数据结构 ，这两个子节点就像是它的两个 “小帮手”，分别被称为左子节点和右子节点。整个二叉树有一个位于顶端的根节点，就如同家族的 “大家长”，统领着整棵树。那些没有子节点的节点，被叫做叶子节点，它们安静地待在树的最底层 ，就像家族里的晚辈。而拥有子节点的节点则是父节点，起着连接上下的作用。

        为了更直观地理解，我们可以把二叉树想象成一个公司的组织架构图。根节点就是公司的 CEO，高高在上，掌控全局；CEO 下面有两个直接下属，分别对应左子节点和右子节点，他们各自负责不同的业务板块；再往下，每个下属又有自己的下属，以此类推，直到最底层的员工，也就是叶子节点，他们是具体任务的执行者 ，没有再往下的下属了。这样的类比是不是让二叉树的结构一下子清晰起来了呢？

（二）二叉搜索树的特性

        二叉搜索树，又称为二叉排序树、二叉查找树，它是二叉树的一种特殊形式，就像是二叉树这个大家族里的 “优等生”，有着独特的性质。在二叉搜索树中，每个节点都遵循着一个严格的规则：左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值 ，右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值 。而且，左、右子树本身也分别是二叉搜索树，这就像一个层层嵌套的规则体系，每个小部分都要符合整体的要求。

        我们还是用刚才公司组织架构的例子来理解。假设公司按照员工的绩效来构建二叉搜索树。CEO 作为根节点，他下面负责业务 A 的左子节点，其团队成员的绩效都比 CEO 低；负责业务 B 的右子节点，其团队成员的绩效都比 CEO 高。再看业务 A 的负责人，他下面的员工绩效又都比他低，以此类推，每个层级都遵循这样的大小关系。这样一来，通过这个二叉搜索树结构，我们就能快速了解公司员工绩效的分布情况 ，如果想找绩效在某个范围的员工，也能很快定位到相应的子树和节点。

（三）二叉树排序的原理

        二叉树排序的实现，主要依靠二叉搜索树的特性和中序遍历这两个 “秘密武器”。首先，我们将需要排序的数据依次插入到二叉搜索树中。在插入的过程中，每个数据都会根据其值的大小，找到在二叉搜索树中合适的位置。就像往刚才的公司绩效二叉搜索树里添加新员工一样，新员工的绩效决定了他在树中的位置。

        当所有数据都插入完成后，二叉搜索树就构建好了。此时，对这棵二叉搜索树进行中序遍历，神奇的事情就发生了！中序遍历会按照左子树、根节点、右子树的顺序访问节点，由于二叉搜索树的特性，访问到的数据会按照从小到大的顺序依次输出 ，这样我们就得到了一个有序的序列，完成了排序的任务。

        用一个简单的例子来说，有一组数据 {5, 3, 7, 2, 4, 6, 8}，我们开始构建二叉搜索树。首先 5 作为根节点，3 比 5 小，插入到 5 的左子树；7 比 5 大，插入到 5 的右子树；接着 2 比 3 小，插入到 3 的左子树；4 比 3 大比 5 小，插入到 3 的右子树；以此类推，最终构建出一棵二叉搜索树。然后进行中序遍历，就会依次输出 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，实现了数据的排序。

三、二叉树排序是如何工作的

（一）插入操作

        二叉树排序的第一步是插入操作，这一步就像是在整理书架时，把每一本书按照一定的规则放在合适的位置上。我们以一个数组 [5, 3, 7, 2, 4, 6, 8] 为例 ，来详细看看插入节点的具体步骤。

        首先，数组中的第一个元素 5 会作为二叉搜索树的根节点 ，这就好比我们先把一本比较重要的书放在书架的中间位置。此时，二叉搜索树只有一个节点，结构非常简单。

        接着插入第二个元素 3 ，因为 3 小于根节点 5 的值，所以 3 会被插入到 5 的左子树位置，就像把一本较薄的书放在刚才那本重要的书的左边。

        然后插入第三个元素 7 ，7 大于 5，于是 7 被插入到 5 的右子树位置，相当于把一本较厚的书放在重要书的右边。

        再插入第四个元素 2 ，2 小于根节点 5，继续和 5 的左子节点 3 比较，2 也小于 3，所以 2 被插入到 3 的左子树位置，就如同在较薄书的左边再放一本更薄的书。

        插入第五个元素 4 ，4 小于 5，和 5 的左子节点 3 比较，4 大于 3，于是 4 被插入到 3 的右子树位置，即在较薄书的右边放一本厚度适中的书。

        插入第六个元素 6 ，6 大于 5，和 5 的右子节点 7 比较，6 小于 7，所以 6 被插入到 7 的左子树位置，相当于在较厚书的左边放一本厚度稍薄些的书。