线性代数：向量组线性相关性及其判定定理详解,-优快云博客

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前言

向量组与方程组大致相同，只是将方程组的具体数值等式转化成更加抽象的向量表示。

一、定义与定理

1、定义

1.1、n维向量

示例： $\alpha =[a_{1},a_{2},...,a_{3}]^{T}$

1.2、线性组合

示例： $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{m}\alpha _{m}$

1.3、线性表示（出）

示例： $\beta =k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{m}\alpha _{m}$

1.4、线性相关

即：存在一组不全为零的数 $k_{1},k_{2},...,k_{m}$ ,使得 $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{m}\alpha _{m}=0$

1.5、线性无关

即：仅当 $k_{1}=k_{2}=...=k_{m}=0$ 时， $k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{m}\alpha _{m}=0$ 成立

2、判别线性相关的七大定理

2.1、定理一：

向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}(n\geqslant 2)$ 线性相关的充要条件是向量组中至少有一个向量可由其余n-1个向量线性表出；

2.2、定理二：

若向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ 线性无关，而 $\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$ 线性表示且表示法唯一；

2.3、定理三：

如果向量组 $\beta _{1},\beta _{2},...\beta _{t}$ 可由向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}$ 线性表示，且 $t>s$ ，则 $\beta _{1},\beta _{2},...\beta _{t}$ 线性相关【以少表多，多的相关】

2.4、定理四：

向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$ 线性相关的充分必要条件是齐次方程组 $Ax=0$ 有非零解；

2.5、定理五：

向量 $\beta$ 可由向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}$ 线性表出 $\Leftrightarrow$ 非齐次线性方程组 $Ax=x_{1}\alpha _{1},x_{2}\alpha _{2},...,x_{s}\alpha _{s}=\beta$ 有解 $r(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s})=r(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s},\beta )$ 【不能线性表出 $\Leftrightarrow Ax=\beta$ 无解 $\Leftrightarrow r(A)\neq r([A, \beta ])$ 】

2.6、定理六：

如果向量组 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{m}$ 中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关【部分相关->整体相关】

2.7、定理七：

如果一组n维向量 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}$ 线性相关，那么把这些对应相同位置各任意添加m个分量所得到的新向量（n+m维）组 $\alpha _{1}^{*},\alpha _{2}^{*},...,\alpha _{s}^{*}$ 也是线性无关的；如果 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s}$ 线性相关，那么它们各去掉相同位置的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关的。

二、具体型向量关系

1. $\beta$ 与 $\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$

1.1、建方程组 $Ax=\beta$

1.2、化阶梯型：

$[A|\beta ]=[\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}|\beta ]$ 【初等变换化为行阶梯型】

1.3、讨论：

$r(A)\neq r(A|\beta) \Leftrightarrow$ 无解 $\Leftrightarrow$ 不能表示

$r(A)= r(A|\beta)=n\Leftrightarrow$ 唯一解 $\Leftrightarrow$ 唯一表示法

$r(A)=r(A|\beta)<n\Leftrightarrow$ 无穷多解 $\Leftrightarrow$ 无穷多表示法