本文详细介绍了一种高效的数据结构——懒标记线段树。它主要用于处理区间更新和区间查询问题，通过延迟更新机制减少不必要的操作，显著提高算法效率。
先介绍一下思想：转载自：http://blog.youkuaiyun.com/acceptedxukai/article/details/6933446
感觉这个大佬说的思想很不错：
给你N个数，Q个操作，操作有两种，‘Q a b ’是询问a~b这段数的和，‘C a b c’是把a~b这段数都加上c。
需要用到线段树的，update:成段增减，query:区间求和
介绍Lazy思想：lazy－tag思想，记录每一个线段树节点的变化值，当这部分线段的一致性被破坏我们就将这个变化值传递给子区间，大大增加了线段树的效率。
在此通俗的解释我理解的Lazy意思，比如现在需要对[a,b]区间值进行加c操作，那么就从根节点[1,n]开始调用update函数进行操作，如果刚好执行到一个子节点，它的节点标记为rt，这时tree[rt].l == a && tree[rt].r == b 这时我们可以一步更新此时rt节点的sum[rt]的值，sum[rt] += c * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1)，注意关键的时刻来了，如果此时按照常规的线段树的update操作，这时候还应该更新rt子节点的sum[]值，而Lazy思想恰恰是暂时不更新rt子节点的sum[]值，到此就return，直到下次需要用到rt子节点的值的时候才去更新，这样避免许多可能无用的操作，从而节省时间 。
下面通过具体的代码来说明之。（此处的函数名和宏学习了小HH的代码风格）
在此先介绍下代码中的函数说明：
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
宏定义左儿子lson和右儿子rson，貌似用宏的速度要慢。
PushUp(rt)：通过当前节点rt把值递归向上更新到根节点
PushDown(rt)：通过当前节点rt递归向下去更新rt子节点的值
rt表示当前子树的根(root),也就是当前所在的结点
这里定义数据结构sum用来存储每个节点的子节点数值的总和，add用来记录该节点的每个数值应该加多少
tree[].l tree[].r分别表示某个节点的左右区间，这里的区间是闭区间
下面直接来介绍update函数，Lazy操作主要就是用在这里
if(tree[rt].l == l && r == tree[rt].r) 这里就是用到Lazy思想的关键时刻 正如上面说提到的，这里首先更新该节点的sum[rt]值，然后更新该节点具体每个数值应该加多少即add[rt]的值，注意此时整个函数就运行完了，直接return，而不是还继续向子节点继续更新，这里就是Lazy思想，暂时不更新子节点的值。
那么什么时候需要更新子节点的值呢？答案是在某部分update操作的时候需要用到那部分没有更新的节点的值的时候，这里可能有点绕口。这时就掉用PushDown()函数更新子节点的数值。
PushDown就是从当前根节点rt向下更新每个子节点的值，这段代码读者可以自己好好理解，这也是Lazy的关键。
接着就是update操作的三个if语句了，这里我曾经一直不理解，多亏nyf队友的指点，借此感谢之。
下面再解释query函数，也就是用这个函数来求区间和
第一个if还是区间的判断和前面update的一样，到这里就可以知道答案了，所以就直接return。
接下来的查询就需要用到rt子节点的值了，由于我们用了Lazy操作，这段的数值还没有更新，因此我们需要调用PushDown函数去更新之，满足if(add[rt])就说明还没有更新。
ll query(ll rt,ll L,ll R)
{
if(L <= tree[rt].l && tree[rt].r <= R)
{
return tree[rt].sum;
}
Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>> 1;
ll ret = 0;
if(L <= mid)
ret += query(rt<<1,L,R);
if(R >= mid + 1)
ret +=query(rt <<1|1,L,R);
return ret;
}2.第二种是具体到区间的边界
ll query(ll rt,ll L,ll R)
{
if(L == tree[rt].l && tree[rt].r == R)
{
return tree[rt].sum;
}
Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>> 1;
ll ret = 0;
if(R <= mid)
ret += query(rt<<1,L,R);
else if(L >= mid + 1)
ret +=query(rt <<1|1,L,R);
else
{
ret += query(rt<<1,L,mid);
ret += query(rt << 1 | 1,mid + 1,R);
}
return ret;
}#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll maxn = 100000 + 10;
struct Tree
{
ll l;
ll r;
ll sum;
ll add;
}tree[maxn * 4];
ll a[maxn];
void Push_down(ll rt,ll len)
{
if(tree[rt].add)
{
tree[rt << 1].add += tree[rt].add;
tree[rt << 1 | 1].add += tree[rt].add;
tree[rt << 1].sum += (len - (len>> 1)) * tree[rt].add;
tree[rt << 1 | 1].sum += (len >> 1 )*tree[rt].add;
tree[rt].add = 0;
}
}
void build(ll rt,ll l,ll r)
{
tree[rt].l = l;
tree[rt].r = r;
if(l == r)
{
tree[rt].sum = a[l];
return;
}
ll mid = (l + r) >> 1;
build(rt <<1,l,mid);
build(rt<<1|1,mid+1,r);
tree[rt].sum = tree[rt << 1].sum + tree[rt << 1 | 1].sum;
}
ll query(ll rt,ll L,ll R)
{
if(L == tree[rt].l && tree[rt].r == R)
{
return tree[rt].sum;
}
Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>> 1;
ll ret = 0;
if(R <= mid)
ret += query(rt<<1,L,R);
else if(L >= mid + 1)
ret +=query(rt <<1|1,L,R);
else
{
ret += query(rt <<1 ,L,mid);
ret += query(rt <<1|1,mid +1 ,R);
}
return ret;
}
void update(ll rt,ll L,ll R,ll val)
{
if(tree[rt].l == L && tree[rt].r == R)
{
tree[rt].add += val;
tree[rt].sum += val * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
return;
}
Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>>1;
if(R <= mid)
update(rt<<1,L,R,val);
else if(L >= mid + 1)
update(rt<<1|1,L,R,val);
else
{
update(rt << 1,L,mid,val);
update(rt <<1 | 1,mid + 1,R,val);
}
tree[rt].sum = tree[rt<<1].sum+tree[rt<<1|1].sum;
}
//void Prll(ll rt)
//{
// //cout << rt << " " << tree[rt].l << " " << tree[rt].r << " " << tree[rt].sum <<" " << tree[rt >> 1].add << endl;
// if(tree[rt].l == tree[rt].r)
// return;
// Prll(rt <<1);
// Prll(rt << 1 | 1);
//}
int main()
{
ll Tcase;
ll n,m;
while( ~ scanf("%I64d%I64d",&n,&m))
{
for(ll i = 1; i <= n; i ++)
scanf("%I64d",&a[i]);
build(1,1,n);
char s[10];
ll x,y;
for(ll ii = 1; ii <= m; ii ++)
{
scanf("%s%I64d%I64d",s,&x,&y);
if(s[0] == 'Q')
{
cout << query(1,x,y) << endl;
}
else if(s[0] == 'C')
{
ll z;
scanf("%I64d",&z);
update(1,x,y,z);
}
// Prll(1);
// puts("");
}
}
return 0;
}
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 100000 + 10;
struct Tree
{
ll l;
ll r;
ll sum;
ll add;
}tree[maxn * 4];
ll a[maxn];
void Push_down(ll rt,ll len)
{
if(tree[rt].add)
{
tree[rt << 1].add += tree[rt].add;
tree[rt << 1 | 1].add += tree[rt].add;
tree[rt << 1].sum += (len - (len>> 1)) * tree[rt].add;
tree[rt << 1 | 1].sum += (len >> 1 )*tree[rt].add;
tree[rt].add = 0;
}
}
void build(ll rt,ll l,ll r)
{
tree[rt].l = l;
tree[rt].r = r;
tree[rt].add = 0;
if(l == r)
{
tree[rt].sum = a[l];
return;
}
ll mid = (l + r) >> 1;
build(rt <<1,l,mid);
build(rt<<1|1,mid+1,r);
tree[rt].sum = tree[rt << 1].sum + tree[rt << 1 | 1].sum;
}
ll query(ll rt,ll L,ll R)
{
if(L <= tree[rt].l && tree[rt].r <= R)
{
return tree[rt].sum;
}
Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>> 1;
ll ret = 0;
if(L <= mid)
ret += query(rt<<1,L,R);
if(R >= mid + 1)
ret +=query(rt <<1|1,L,R);
return ret;
}
void update(ll rt,ll L,ll R,ll val)
{
if(tree[rt].l >= L && tree[rt].r <= R)
{
tree[rt].add += val;
tree[rt].sum += val * (tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
return;
}
Push_down(rt,tree[rt].r - tree[rt].l + 1);
ll mid = (tree[rt].l + tree[rt].r)>>1;
if(L <= mid)
update(rt<<1,L,R,val);
if(R >= mid + 1)
update(rt<<1|1,L,R,val);
tree[rt].sum = tree[rt<<1].sum+tree[rt<<1|1].sum;
}
int main()
{
ll Tcase;
ll n,m;
while( ~ scanf("%I64d%I64d",&n,&m))
{
for(ll i = 1; i <= n; i ++)
scanf("%I64d",&a[i]);
build(1,1,n);
char s[10];
ll x,y;
for(ll ii = 1; ii <= m; ii ++)
{
scanf("%s%I64d%I64d",s,&x,&y);
if(s[0] == 'Q')
{
cout << query(1,x,y) << endl;
}
else if(s[0] == 'C')
{
ll z;
scanf("%I64d",&z);
update(1,x,y,z);
}
}
}
return 0;
}
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