线段树（区间树）-查询和更新

目录

一、为什么需要使用线段树

二、创建线段树

三、线段树的查询

四、线段树的更新

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一、为什么需要使用线段树

在一个区间内，需要同时实现两个操作：更新+查询，如果我们仅仅使用数组来实现，它的时间复杂度时O(n)级别的，相对来说，如果我们使用线段树，便可以获得更好的时间复杂度和更高的执行效率。

例如，我们需要在一个数组中，求一个区间内的元素的和，如果我们使用数组来进行实现，需要找到数组中所有的这些元素，然后进行一个一个的遍历求和操作，如果数据量很大的化，这种操作时比较低效的。

对于使用线段树的操作方式来说，它的数据存储结构如下图，每一个节点存储的是一段区间内的数字和，当我们需要查询索引4-7内的元素的和时，我们只需要访问A[4..7]这个节点就可以了，并不需要把4-7内的元素全部遍历出来再进行一下求和操作。

对于线段树来说，它不是一棵完全二叉树，它的根节点的位置不是按照层级从左到右的顺序排列的。但是，它是一颗平衡二叉树，所谓的平衡二叉树，就是树中叶子节点的最大深度和最小的深度之差不超过1，所以完全二叉树也是一棵平衡二叉树。

对于平衡二叉树来说，它不会像二分搜索树那样退化成一个链表，所以在平衡二叉树上的查询永远都是O(log(n))级别的，相对于链表O(n)复杂度的查询，平衡二叉树效率要高很多。

对于线段树来说，我们可以把它看成是一棵满二叉树，这样就可以通过数组来存储线段树（满二叉树每一层存多少数据是确定的）；对于满二叉树：

n层，一共有2^n-1个节点。

最后一层(n-1)层，有2^(n-1)个节点，

因此，我们大致可以得出以下结论，在满二叉树中最后一层的节点数大致等于前面所有层的节点数之和。

接下来，我们需要计算一下：如果区间有n个元素，数组表示需要有多少节点？

如果我们的线段树不考虑添加元素，即区间固定，我们使用4n的静态空间即可（这是线段树最坏的情况，即开辟的空间中有很多将被浪费）

因此，使用线段树、我们追求的是以空间来换取时间