线段树区间更新

线段树在处理区间更新时,通过引入延迟标记来避免重复更新,提高效率。延迟标记记录节点是否已修改,当需要考虑子节点时,将标记向下传递并更新子节点。例如在ACM题目的成段更新问题中,延迟标记帮助解决区间价值变化的计算,使得总时间复杂度保持在O(log n)。

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线段树成段更新延迟标记理解

区间更新是指每次更新的时候更新的是一个区间里面的所有值,例如将区间[l,r]内的所有点都加或者减去一个数,或者替换成一个数字等等.因为区间更新每次更新的不止一个叶子节点,而叶子节点的值的更新肯定会影响到他的一系列的节点,所以假如每次都按照单点更新的思路将每一个叶子节点以及他的父节点都更新的话,那么工作量太大了并且时间肯定不会是log(n)会超时的。例如线段树总区间为[1,10],也就是这个树:




现在我们要更新[4,8]内的叶子节点的值,那么总共要更新的节点就会非常多。为了解决这个可能会超时的做法,引入了线段树中的延迟标记,这也是线段树的精华部分。延迟标记:每个节点除了常规的lft,rht,value外在增加一个标记,这个标记用于记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点),对于任意区间的修改,我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点,然后修改这些节点的信息,并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候,如果我们到了一个节点p,并且决定考虑其子节点,那么我们就要看节点p是否被标记,如果有,就要按照标记修改其子节点的信息,并且给子节点都标上相同的标记,同时消掉节点p的标记。这样一来成段更新的时候每次只需要更新有用的部分就可以了。


举例说明:当我们要将区间[1,3]的叶子节点的value增加2的时候,我们利用和区间查询一样的办法找到了区间[1,3],这时候我们把区间[1.3]的value值加上区间长度len

### 线段树区间修改的实现方法 线段树是一种高效的数据结构,用于处理动态区间查询和修改操作。对于区间修改的操作,通常会引入懒惰传播(Lazy Propagation)机制来优化性能。 #### 基本概念 在支持区间修改的情况下,线段树通过维护一个额外的`lazy[]`数组记录尚未传递给子节点的延迟更新信息。这种设计可以减少不必要的递归调用次数,从而提高效率[^1]。 #### 关键函数说明 以下是实现线段树区间修改的核心部分: 1. **构建线段树** 构建过程与普通的线段树相同,初始化时需确保`lazy[]`数组全部置零。 2. **Push Down 函数** 当访问某个节点并发现该节点存在未解决的延迟标记时,需要将其影响向下传递至子节点,并清除当前节点上的标记。 ```cpp void pushDown(int k, int l, int r) { if (lazy[k]) { // 如果有延迟标记 int mid = (l + r) / 2; add(k * 2, l, mid, lazy[k]); // 更新左孩子 add(k * 2 + 1, mid + 1, r, lazy[k]); // 更新右孩子 lazy[k] = 0; // 清除当前节点的延迟标记 } } ``` 3. **Add 函数** `add()`负责执行具体的区间修改逻辑。如果目标区间完全覆盖当前节点,则直接应用修改;否则继续分解到子节点上。 ```cpp void add(int k, int l, int r, int ql, int qr, int val) { if (ql <= l && r <= qr) { // 完全覆盖的情况 s[k] += (r - l + 1) * val; // 修改当前区间的总和 lazy[k] += val; // 设置延迟标记 return; } int mid = (l + r) / 2; pushDown(k, l, r); // 下推延迟标记 if (ql <= mid) add(k * 2, l, mid, ql, qr, val); if (qr > mid) add(k * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr, val); s[k] = s[k * 2] + s[k * 2 + 1]; // 合并左右孩子的结果 } ``` 4. **Query 函数** 查询过程中也需要注意是否存在延迟标记,若有则先进行下推操作再继续查找。 ```cpp long long query(int k, int l, int r, int ql, int qr) { if (ql <= l && r <= qr) { // 完全覆盖的情况 return s[k]; } int mid = (l + r) / 2; pushDown(k, l, r); // 下推延迟标记 long long res = 0; if (ql <= mid) res += query(k * 2, l, mid, ql, qr); if (qr > mid) res += query(k * 2 + 1, mid + 1, r, ql, qr); return res; } ``` 以上即为完整的线段树区间修改实现方案[^2][^3]。 ### 时间复杂度分析 每次修改或查询操作最多涉及从根节点到叶子节点的一条路径上的所有节点,因此时间复杂度均为\( O(\log N) \)[^4]。
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