01背包动态规划

01背包迪屁

大多数蒟蒻都知道，01背包就是选与不选的问题，最后求最大值。可是怎么样求最大值呢？我们先来看一道例题：

[NOIP2006 普及组] 开心的金明

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $N$ 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 $N$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1-5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v[j]$ ，重要度为 $w[j]$ ，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,\dots ,j_k$ ，则所求的总和为：

$v[j_1]\times w[j_1]+v[j_2]\times w[j_2]+\dots +v[j_k]\times w[j_k]$。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为$2$个正整数，用一个空格隔开：$n,m$（其中$N(<30000)$表示总钱数，$m(<25)$为希望购买物品的个数。）

从第$2$行到第$m+1$行，第$j$行给出了编号为$j-1$的物品的基本数据，每行有$2$个非负整数$ v p$（其中$v$表示该物品的价格$(v \le 10000)$，$p$表示该物品的重要度($1-5$)

输出格式

$1$个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值$(<100000000)$。

我们可以看到，这一道题是有 $m$ 个需要买的东西，在不超过 $n$ 元的情况下，求可以买的东西的钱数 $\times$ 重要度，总结下来就是花的钱多，重要度高，就可以求出最大值。（真的是这样吗？）

看到这道题，大家第一想法肯定是搜索（dfs），可是如此大的数据，搜索必定拿不了
满分（TLE），所以我们就有了——

记忆化搜索！！！

可惜灰常难调

那就没有什么办法，既不容易超时，又不容易错吗？

有，就是我们几天的主角——01背包迪屁！！！

我们不如开一个 $dp$ 数组，下标为需要购买物品的钱数，里面就存着钱数与重要度的乘积，当下标为 $n$ 时，乘积就是最大值。然后就是我思来想去的状态转移方程：

d p [ j ] = m a x { d p [ j ] , d p [ j − v [ i ] ] + x [ i ] } dp[j]=max\{dp[j],dp[j-v[i]]+x[i]\} dp[j]=max{dp[j],dp[j−v[i]]+x[i]}

其中 $dp$ 是拿来迪屁的数组，$v$ 为价钱数组，$x$ 为成绩数组。

神马意思呢？

表示拿之前的最大值（$dp[j]$）与不选这个东西的最大值（$dp[j-v[i]]$）加上这个物品的乘积进行比较，取最大值。（其实就是以前的和现在的的大 $PK$）。

上代码！！！

#include<bits/stdc++.h>  //万能头

using namespace std; //std命名空间

int n,m,w[35],v[35],x[35],f[50000];
//定义变量：n是钱数，m是金明想要买的东西数，w是东西的重要度，v是买那个东西需要多少钱，x是那个东西的乘积，f是迪屁数组


int main(int argc,char *argv[])  //Let's Go!

{

    cin >> n >> m; //读入n&m

    for(int i=1;i<=m;++i)  //循环读入每个东西
    {
        cin >> v[i] >> w[i];  //输入那个东西的钱数与重要度
        x[i] = v[i]*w[i];  //计算乘积

    }
    for(int i=1;i<=m;++i)  //循环枚举每种商品
    {
        for(int j=n;j>=v[i];--j)  //从麻麻给的钱数开始往下枚举每种钱数
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+x[i]);    //动态转移方程    

        }

    }

    cout << f[n];  //此时迪屁数组的第n位就是最大值

    return 0;  //程序：我没了

}  //Every body all kill in IOI.

如有问题还请大佬多多指教