01背包迪屁
大多数蒟蒻都知道,01背包就是选与不选的问题,最后求最大值。可是怎么样求最大值呢?我们先来看一道例题:
[NOIP2006 普及组] 开心的金明
题目描述
金明今天很开心,家里购置的新房就要领钥匙了,新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是,妈妈昨天对他说:“你的房间需要购买哪些物品,怎么布置,你说了算,只要不超过 N N N 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算,但是他想买的东西太多了,肯定会超过妈妈限定的 N N N 元。于是,他把每件物品规定了一个重要度,分为 5 5 5 等:用整数 1 − 5 1-5 1−5 表示,第 5 5 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格(都是整数元)。他希望在不超过 N N N 元(可以等于 N N N 元)的前提下,使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。
设第 j j j 件物品的价格为 v [ j ] v[j] v[j] ,重要度为 w [ j ] w[j] w[j] ,共选中了 k k k 件物品,编号依次为 j 1 , j 2 , … , j k j_1,j_2,…,j_k j1,j2,…,jk ,则所求的总和为:
v [ j 1 ] × w [ j 1 ] + v [ j 2 ] × w [ j 2 ] + … + v [ j k ] × w [ j k ] v[j_1] \times w[j_1]+v[j_2] \times w[j_2]+ …+v[j_k] \times w[j_k] v[j1]×w[j1]+v[j2]×w[j2]+…+v[jk]×w[jk]。
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入格式
第一行,为 2 2 2个正整数,用一个空格隔开: n , m n,m n,m(其中 N ( < 30000 ) N(<30000) N(<30000)表示总钱数, m ( < 25 ) m(<25) m(<25)为希望购买物品的个数。)
从第 2 2 2行到第 m + 1 m+1 m+1行,第 j j j行给出了编号为 j − 1 j-1 j−1的物品的基本数据,每行有 2 2 2个非负整数$ v p (其中 (其中 (其中v 表示该物品的价格 表示该物品的价格 表示该物品的价格(v \le 10000) , , ,p$表示该物品的重要度( 1 − 5 1-5 1−5)
输出格式
1 1 1个正整数,为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值 ( < 100000000 ) (<100000000) (<100000000)。
我们可以看到,这一道题是有 m m m 个需要买的东西,在不超过 n n n 元的情况下,求可以买的东西的钱数 × × × 重要度,总结下来就是花的钱多,重要度高,就可以求出最大值。(真的是这样吗?)
看到这道题,大家第一想法肯定是搜索(dfs),可是如此大的数据,搜索必定拿不了
满分(TLE),所以我们就有了——
记忆化搜索!!!
可惜灰常难调
那就没有什么办法,既不容易超时,又不容易错吗?
有,就是我们几天的主角——01背包迪屁!!!
我们不如开一个 d p dp dp 数组,下标为需要购买物品的钱数,里面就存着钱数与重要度的乘积,当下标为 n n n 时,乘积就是最大值。然后就是我思来想去的状态转移方程:
d p [ j ] = m a x { d p [ j ] , d p [ j − v [ i ] ] + x [ i ] } dp[j]=max\{dp[j],dp[j-v[i]]+x[i]\} dp[j]=max{dp[j],dp[j−v[i]]+x[i]}
其中 d p dp dp 是拿来迪屁的数组, v v v 为价钱数组, x x x 为成绩数组。
神马意思呢?
表示拿之前的最大值( d p [ j ] dp[j] dp[j])与不选这个东西的最大值( d p [ j − v [ i ] ] dp[j-v[i]] dp[j−v[i]])加上这个物品的乘积进行比较,取最大值。(其实就是以前的和现在的的大 P K PK PK)。
上代码!!!
#include<bits/stdc++.h> //万能头
using namespace std; //std命名空间
int n,m,w[35],v[35],x[35],f[50000];
//定义变量:n是钱数,m是金明想要买的东西数,w是东西的重要度,v是买那个东西需要多少钱,x是那个东西的乘积,f是迪屁数组
int main(int argc,char *argv[]) //Let's Go!
{
cin >> n >> m; //读入n&m
for(int i=1;i<=m;++i) //循环读入每个东西
{
cin >> v[i] >> w[i]; //输入那个东西的钱数与重要度
x[i] = v[i]*w[i]; //计算乘积
}
for(int i=1;i<=m;++i) //循环枚举每种商品
{
for(int j=n;j>=v[i];--j) //从麻麻给的钱数开始往下枚举每种钱数
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+x[i]); //动态转移方程
}
}
cout << f[n]; //此时迪屁数组的第n位就是最大值
return 0; //程序:我没了
} //Every body all kill in IOI.