关于自抗扰控制的稳定性分析

前面3篇博客分析了扩张状态观测器(ESO)收敛性分析的套路，基本上是过了一遍原文献的证明步骤，穿插一些说明，目的在于让人看清证明背后的思想。考虑到ESO是自抗扰控制(ADRC)的核心，因此ADRC的稳定性证明套路其实在一定程度上也借鉴了ESO收敛性套路。文献[1]首次给出了多输入多输出系统ADRC稳定性的完整证明，但其使用的符号比较多，且数学味过于浓厚，毕竟文献[1]对应的期刊其实是一本数学期刊，不太容易吸引人阅读，不过其证明的实质套路一直得到了传承和发扬，此后一连串的文献都沿袭了文献[1]的套路，比如文献[2]。因此，如果想知道ADRC的稳定性证明套路，文献[2]值得推荐，比文献[1]的可读性强一些。

这里不打算再像之前博客那样过一遍文献[2]的证明步骤了，仅仅分析其思想，因此只罗列部分公式以对套路进行辅助说明，感兴趣的读者可以直接找来文献[2]仔细研读。文献[2]考虑下面的下三角形式的系统：
$$\{\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1(t)=x_2(t)+h_1(x_1(t),\zeta (t),w(t)),\\ & {\dot{x}}_2(t)=x_3(t)+h_2(x_1(t),x_2(t),\zeta (t),w(t)),\\ & ⋮\\ & {\dot{x}}_n(t)=f(t,x(t),\zeta (t),w(t))+b(t,w(t))u(t),\\ & \dot{\zeta }(t)=f_0(x_1(t),,\zeta (t),w(t)),\\ & y(t)=x_1(t),\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$x(t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))\in {\mathbb{R}}^n$为系统状态，$\zeta (t)\in {\mathbb{R}}^m$为所谓的零动态（控制理论喜欢玩的一套，这里仅仅为了增加公式表面复杂性来装B），$y(t)$为输出，$u(t)$为控制输入，$w(t)$为外部干扰，$b$为不知道准确值的控制系数，但是有一个比较接近的名义值$b_0$，事实上，要是$b$完全未知，那么理论推导导相当复杂，可以说，ADRC里面最关键的参数就是这个$b$了。

直接考虑系统(1)的ADRC不太容易，考虑一般ADRC的文章喜欢积分形式的系统，因此ADRC设计的第一步就是利用坐标变换把系统(1)转化为积分形式，文献[2]采用了反馈线性化里面的常规操作：

$$\{\begin{array}{rl}& {\bar{x}}_1(t)=x_1(t),\\ & {\bar{x}}_2(t)=x_2(t)+h_1(x_1(t),\zeta (t),w(t)),\\ & {\bar{x}}_i(t)=x_i(t)+\sum _{j=1}^{i-1}{h}_{i-j}^{(j-1)}(x_1(t),\dots ,x_{i-j}(t),\zeta (t),w(t)),3\le j\le n,\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
其中，$h_{i-j}^{(j-1)}(\cdot )$为$h_{i-j}(\cdot )$对时间变量$t$的$(j-1)$阶导数，这样转换后，利用新的状态变量$\bar{x}(t)=({\bar{x}}_1(t),\dots ,{\bar{x}}_n(t))$，系统可写为如下的积分链形式：
$$\{\begin{array}{rl}& {\dot{\bar{x}}}_1(t)={\bar{x}}_2(t),\\ & {\dot{\bar{x}}}_2(t)={\bar{x}}_3(t),\\ & ⋮\\ & {\dot{\bar{x}}}_n(t)={\bar{x}}_{n+1}(t)+b_0(t)u(t),\\ & y(t)={\bar{x}}_1(t),\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
系统(3)单独提取出了$b_0(t)u(t)$这一项以方便控制器设计，因此总扰动${\bar{x}}_{n+1}(t)$的表达式为
$$\begin{array}{rl}{\bar{x}}_{n+1}(t)=& f(t,x(t),\zeta (t),w(t))+(b(t,w(t))-b_0(t))u(t)\\ & +\sum _{j=1}^{n-1}{h}_{n-j}^{(j)}(x_1(t),\dots ,x_{n-j}(t),\zeta (t),w(t)).\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$
这样一来，系统形式整理完毕，控制目标是在初值有界的前提下，状态$(x(t),\zeta (t))$始终有界，输出$y(t)$能跟踪给定的有界参考信号$r(t)$，且$r(t)$的各阶导数$\dot{r}(t)$，$\ddot{r}(t)$，$\dots$，$r^{(n)}(t)$均有界，并记为
$$(r_1(t),r_2(t),\dots ,r_{n+1}(t))=(r(t),\dot{r}(t),\dots ,r^{(n)}(t)).\text{\hspace{1em}(5)}$$
接下来可以给出ADRC的结构了，ESO的形式为
$$\{\begin{array}{rl}& {\dot{\hat{\bar{x}}}}_1(t)={\hat{\bar{x}}}_2(t)+{\epsilon }^{n-1}{g}_1({\eta }_1(t)),\\ & {\dot{\hat{\bar{x}}}}_2(t)={\hat{\bar{x}}}_3(t)+{\epsilon }^{n-2}{g}_2({\eta }_1(t)),\\ & ⋮\\ & {\dot{\hat{\bar{x}}}}_n(t)={\hat{\bar{x}}}_{n+1}(t)+g_n({\eta }_1(t))+b_0(t)u(t),\\ & {\dot{\hat{\bar{x}}}}_{n+1}(t)=\frac{1}{\epsilon }{g}_{n+1}({\eta }_1(t)),{\eta }_1(t)=\frac{y(t)-{\hat{\bar{x}}}_1(t)}{{\epsilon }^n},\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
还是熟悉的配方，$g_i\in C(\mathbb{R};\mathbb{R})$，$i=1,2,\dots ,n+1$为设计函数，$\epsilon >0$为调节参数。与单独ESO收敛性分析不同的是，这里还需要给出$u(t)$的表达式，由于系统已经转换为了积分链形式，因此可以直接给出
$$\begin{gathered} u(t)=\frac{1}{b_0(t)}[\rho \left({\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_1}({\hat{\bar{x}}}_1(t)-r_1(t)),\dots ,{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_n}({\hat{\bar{x}}}_n(t)-r_n(t))\right) \\ -{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_{n+1}}({\hat{\bar{x}}}_{n+1}(t))+r_{n+1}(t)],\text{\hspace{1em}(7)} \end{gathered}$$
其中，${\hat{\bar{x}}}_{n+1}(t)$用于补偿总扰动${\bar{x}}_{n+1}(t)$，$\rho \left({\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_1}({\hat{\bar{x}}}_1(t)-r_1(t)),\dots ,{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_n}({\hat{\bar{x}}}_n(t)-r_n(t))\right)+r_{n+1}(t)$用于输出跟踪，采用饱和函数${\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_i}(\cdot )$是为了防止所谓的峰值现象，文献[3]对此有专门的论述。我们可以看到的是，ADRC中ESO和控制器的形式比较直接，其复杂性主要体现在稳定性证明上。这里有两类误差：ESO的观察误差$\eta (t)$和系统对参考信号的跟踪误差$e(t)$。首先给出两类误差的定义：
$$\{\begin{array}{rl}& {\eta }_i(t)=\frac{{\bar{x}}_i(t)-{\hat{\bar{x}}}_i(t)}{{\epsilon }^{n+1-i}}(i=1,2,\dots ,n+1),\\ & \eta (t)=({\eta }_1(t),\dots ,{\eta }_{n+1}(t)),\\ & e_i(t)={\bar{x}}_i(t)-r_i(t)(i=1,2,\dots ,n),\\ & e(t)=(e_1(t),\dots ,e_n(t)),\\ & \Delta (t)=\rho \left({\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_1}({\hat{\bar{x}}}_1(t)-r_1(t)),\dots ,{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_n}({\hat{\bar{x}}}_n(t)-r_n(t))\right)-\rho (e(t)),\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
进而可以写出$\eta (t)$和$e(t)$满足的微分方程：
$$\{\begin{array}{rl}& {\dot{e}}_1(t)=e_2(t),\\ & {\dot{e}}_2(t)=e_3(t),\\ & ⋮\\ & {\dot{e}}_n(t)=\rho (e(t))+\Delta (t)+{\bar{x}}_{n+1}(t)-{\mathrm{s}\mathrm{a}\mathrm{t}}_{Q_{n+1}}({\hat{\bar{x}}}_{n+1}(t)),\\ & {\dot{\eta }}_1(t)=\frac{1}{\epsilon }[{\eta }_2(t)-g_1({\eta }_1(t))],\\ & ⋮\\ & {\dot{\eta }}_n(t)=\frac{1}{\epsilon }[{\eta }_{n+1}(t)-g_n({\eta }_1(t))],\\ & {\dot{\eta }}_{n+1}(t)=-\frac{1}{\epsilon }{g}_{n+1}({\eta }_1(t))+{\dot{\bar{x}}}_{n+1}(t).\end{array}\text{\hspace{1em}(9)}$$
然后就可以根据式(9)开展ADRC稳定性分析了，证明一般分三步走：

第一步：证明跟踪误差$e(t)$的有界性。具体来说，存在${\epsilon }_2>0$使得对所有$\epsilon \in (0,{\epsilon }_2)$，集合{e(t):t∈[0,∞)}\{e(t):t\in[0,\infty)\}{e(t):t∈[0,∞)}有界。通过研究时间区间$[t_1,t_2]$上系统的性质，利用反证法证明，这里比较关键的有4个细节：

1. 利用不等式放缩证明$|e_i(t)|$的上界和$\epsilon$无关；
2. 对${\dot{\bar{x}}}_{n+1}(t)$表达式的计算，没有实际难度，只是需要注意各项的展开，结合论文的各种假设获得$|{\dot{\bar{x}}}_{n+1}(t)|$上界的形式；
3. 在反证法的前提下，计算观察误差$\eta (t)$系统对应的Laypunov函数$V_2(\eta (t))$对时间的导数，以表明观察误差$\eta (t)$的界小于某一表达式，即观测误差足够小；
4. 计算跟踪误差$e(t)$系统对应的Laypunov函数$V_1(e(t))$对时间的导数，以表明时间区间$[t_1,t_2]$上$V_1(e(t))$是随时间递减的，导出矛盾。

第二步：证明观测误差$\eta (t)$随$\epsilon \to 0$而趋于0，也就是ESO的收敛性。其实第一步已经完成大部分推导工作了，因此第二步比较直接：

1. 在第一步证明结论的基础上，改写$|{\dot{\bar{x}}}_{n+1}(t)|$上界的形式；
2. 计算观察误差$\eta (t)$系统对应的Laypunov函数$V_2(\eta (t))$对时间的导数，然后对$\Vert \eta (t)\Vert$的上界进行放缩，获得结论。

第三步：证明跟踪误差$e(t)$的收敛性，也就是ADRC的稳定性。具体来说，对任意$\sigma >0$，存在${\epsilon }^{\ast }>0$使得对所有$\epsilon \in (0,{\epsilon }^{\ast })$，$\Vert e(t)\Vert \le \sigma$对所有$t\in [t_{\epsilon },\infty )$均成立，$t_{\epsilon }$为与$\epsilon$有关的常数。

这一步就比较直接了，结合第一步和第二步的结论，直接计算跟踪误差$e(t)$系统对应的Laypunov函数$V_1(e(t))$对时间的导数，得到最终的结论。

至此可以看到ADRC的稳定性分析思路，而不是被其表明复杂的公式唬住。这里想指出的是，ADRC的稳定性分析需要先把系统转换为积分形式，因此当结合具体的应用对象时需要小心，毕竟实际系统不太容易满足ADRC稳定性分析必要的假设条件。相比之下，结合具体的应用对象设计特定形式的ESO，再在控制器设计上做点小改动，然后稳定性分析中利用ESO的分析套路，反倒相对容易产生一篇自己的论文。

总的来说，这里的ADRC的稳定性分析仅具备理论意义（主要用来写论文），因为这里暗含了一个条件，即$\epsilon$可以任意小，但任何的实际系统都存在时延，而在考虑时延的前提下，$\epsilon$是不能过小的。此外，这里并没有给出ADRC设计参数的指导准则，对于控制工程师来说没有参考价值（所以PID真香）。其实更有意义的是从频域角度分析ESO和ADRC，毕竟ADRC参数选择并不容易，这一方面的工作可以参考高志强老师的相关工作。此外，ADRC并不是万能的，比如当实际系统的扩张状态和系统状态相关时，问题就变复杂了，此时ESO的效果到底如何还真不好说。总之，一旦考虑工程实际，如何将ADRC利用好是个技术活。

参考文献

[1]Guo B Z, Zhao Z L. On convergence of the nonlinear active disturbance rejection control for MIMO systems[J]. SIAM Journal on Control and Optimization, 2013, 51(2): 1727-1757.

[2]Guo B Z, Wu Z H. Output tracking for a class of nonlinear systems with mismatched uncertainties by active disturbance rejection control[J]. Systems & Control Letters, 2017, 100: 21-31.

[3]Khalil H K. Nonlinear systems[M]. Prentice-Hall, 2001.