复高斯分布

前言

本文主要介绍与高斯分布相关的一些通信中用的比较多的分布以及具体含义。

高斯分布及其相关分布

标准高斯随机变量其均值为0,方差为1,并具有如下概率密度函数(PDF):
f ( w ) = 1 2 π exp ⁡ ( − w 2 2 ) , w ∈ ℜ f(w)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp \left(-\frac{w^{2}}{2}\right), \quad w \in \Re f(w)=2π 1exp(2w2),w
记为 w ∼ N ( 0 , 1 ) w \sim N \left(0, 1\right) wN(0,1)
一个均值为 μ \mu μ,方差为 σ \sigma σ 高斯随机变量 x x x 取实数值,并具有如下概率密度函数 (PDF):
f ( x ) = 1 2 π σ 2 exp ⁡ ( − ( w − μ ) 2 2 σ 2 ) , w ∈ ℜ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi\sigma^2}} \exp \left(-\frac{(w-\mu)^{2}}{2\sigma^2}\right), \quad w \in \Re f(x)=2πσ2 1exp(2

### 复高斯分布函数的定义与实现 在 MATLAB 中,复高斯分布通常用于信号处理领域中的建模和仿真。复高斯随机变量可以表示为实部和虚部分别服从独立同分布的标准正态分布[^3]。 #### 定义 假设 \( z \) 是一个复高斯随机变量,则其形式如下: \[ z = x + jy \] 其中 \( x \sim N(\mu_x, \sigma_x^2) \),\( y \sim N(\mu_y, \sigma_y^2) \),且 \( x \) 和 \( y \) 彼此独立。对于零均值单位方差的情况,有 \( x \sim N(0, 1) \),\( y \sim N(0, 1) \)。 #### 实现方法 可以通过 `randn` 函数生成标准正态分布的样本,并将其组合成复数来模拟复高斯分布: ```matlab % 参数设置 num_samples = 1000; % 样本数量 mean_real = 0; % 实部均值 std_dev_real = 1; % 实部标准差 mean_imag = 0; % 虚部均值 std_dev_imag = 1; % 虚部标准差 % 生成复高斯分布数据 real_part = mean_real + std_dev_real * randn(num_samples, 1); imaginary_part = mean_imag + std_dev_imag * randn(num_samples, 1); complex_gaussian_data = complex(real_part, imaginary_part); % 绘制直方图 figure; subplot(2,1,1); histogram(real(complex_gaussian_data), 'Normalization', 'pdf'); title('Real Part Distribution'); xlabel('Value'); ylabel('Probability Density'); subplot(2,1,2); histogram(imag(complex_gaussian_data), 'Normalization', 'pdf'); title('Imaginary Part Distribution'); xlabel('Value'); ylabel('Probability Density'); ``` 上述代码通过调用 `randn` 来分别生成实部和虚部的数据序列,并利用 `complex` 将两者合成复数值数组。最后绘制了其实部和虚部的概率密度函数 (PDF) 图形以验证分布特性。 #### 验证 PDF 的理论表达式 理论上,复高斯分布的概率密度函数可以用下述公式描述: \[ f(z) = \frac{1}{\pi \cdot (\text{variance})} e^{-|z|^2 / \text{variance}} \] 如果需要计算给定数据集的经验概率密度估计值,可以采用以下方式完成: ```matlab edges = linspace(min(abs(complex_gaussian_data)), max(abs(complex_gaussian_data)), 50); [counts, edges_out] = histcounts(abs(complex_gaussian_data), edges, 'Normalization', 'pdf'); centers = (edges_out(1:end-1)+edges_out(2:end))/2; % 理论曲线拟合 variance = var(complex_gaussian_data(:)); theoretical_pdf = @(r) exp(-(r.^2)/variance) ./ (pi * variance); plot(centers, counts, 'bo-', centers, theoretical_pdf(centers), 'r--'); legend('Empirical PDF','Theoretical PDF'); xlabel('|Z| Value'); ylabel('Density'); ``` 这一步骤展示了如何对比经验分布与理论模型之间的差异。 --- ###
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