寻找最长回文子串——manacher算法

1. Manacher算法的基本概念

什么是Manacher算法？

Manacher算法是一种用于在 线性时间复杂度（O(n)O(n)）内求解字符串中最长回文子串的算法。它的核心思想是通过 对称性 和 动态规划 来避免重复计算。

为什么需要Manacher算法？（优化时间）

• 暴力解法：枚举所有子串并检查是否为回文，时间复杂度为 O(n2)O(n2)。
• Manacher算法：通过利用回文的对称性，将时间复杂度优化到 O(n)O(n)。

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2. Manacher算法的核心思路（图）

       1. p[i]表示以第i个字符的最大回文半径。

       2. 当遍历到当前位置，因为i = 3的回文半径将当前位置包裹起来的，所以i = 5的回文半径至少是1，这个可有i = 1直接得到，i = 1与i = 5是关于i = 3镜像对称，此后对i = 5的位置继续向外暴力扩展，求得最终p[i]。

        3.对每个位置遍历完都得比较记录最大的半径的位置，和最右边被包裹的最大位置，以方便后续持续使用镜像直接得值。

       如上遍历情况，所以最终可得划线的答案依次为：0，3，0，1，0。

3. Manacher算法核心思路（代码处理）

预处理（统一处理为奇数个字符串）

为了统一处理奇数和偶数长度的回文子串，Manacher算法首先对字符串进行预处理：

• 在字符串的每个字符之间插入一个特殊字符（如 #），并在字符串的开头和结尾也插入特殊字符。
• 例如，字符串 abba 预处理后变为 #a#b#b#a#。

定义数组

• 设 p[i] 表示以字符 s[i] 为中心的最长回文半径（包括中心字符）。
• 例如，对于字符串 #a#b#b#a#，p[3] = 4（回文子串为 #a#b#b#a#）。

利用对称性

• 设 C 为当前已知的最长回文子串的中心，R 为其右边界。
• 对于当前字符 s[i]，如果 i < R，则可以利用对称性快速计算 p[i]。

状态转移

• 如果 i < R，则 p[i] = min(R - i, p[2 * C - i])。
• 否则，从 i 开始向左右扩展，计算 p[i]。

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4. Manacher算法的代码实现

以下是 Manacher算法 的实现（Java）：

public class Manacher {

    // Manacher算法
    public static String longestPalindrome(String s) {
        if (s == null || s.length() == 0) return "";

        // 预处理字符串
        StringBuilder sb = new StringBuilder();
        sb.append('^'); // 开头特殊字符
        for (char c : s.toCharArray()) {
            sb.append('#').append(c);
        }
        sb.append("#$"); // 结尾特殊字符
        String t = sb.toString();

        int n = t.length();
        int[] p = new int[n]; // p[i] 表示以 t[i] 为中心的最长回文半径
        int C = 0, R = 0; // C 是中心，R 是右边界

        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            // 利用对称性快速计算 p[i]
            int mirror = 2 * C - i;
            if (i < R) {
                p[i] = Math.min(R - i, p[mirror]);
            }

            // 尝试扩展
            while (t.charAt(i + p[i] + 1) == t.charAt(i - p[i] - 1)) {
                p[i]++;
            }

            // 更新中心和右边界
            if (i + p[i] > R) {
                C = i;
                R = i + p[i];
            }
        }

        // 找到最长回文子串
        int maxLen = 0, center = 0;
        for (int i = 1; i < n - 1; i++) {
            if (p[i] > maxLen) {
                maxLen = p[i];
                center = i;
            }
        }

        // 提取最长回文子串
        int start = (center - maxLen) / 2;
        return s.substring(start, start + maxLen);
    }

    public static void main(String[] args) {
        String s = "babad";
        String result = longestPalindrome(s);
        System.out.println("最长回文子串: " + result); // 输出：bab 或 aba
    }
}