Manacher算法-最长回文串

最新推荐文章于 2025-03-02 23:20:45 发布

原创最新推荐文章于 2025-03-02 23:20:45 发布 · 132 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#manacher #串

算法专栏收录该内容

6 篇文章

订阅专栏

本文介绍了Manacher算法，用于求解最长回文子串。传统方法求解该问题时间复杂度高，而Manacher算法可将时间复杂度提升到O(n)。算法先对字符串进行扩展，将奇偶回文统一处理，再求解每个位置的最长回文半径并保存到p[]数组，最后得出最长回文子串。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Manacher算法：

总体来说挺简单的，就是

1.先extend字符串，

2.求每个位置的最长回文半径(并保存到p[]数组)，在求i位置的最长回文半径 p[i] 时：

p[i] = i>mx ? 1: min( p[j] , mx-i ) ;

// 意思就是若i如下图所示在id的范围之内，并且i+p[j] <= mx ,则p[i]=p[j];

// 否则就是 i+p[j] > mx 则 p[i]至多=mx-i ；

// 若 i 不在id的范围之内，即 i>mx ,直接p[i]=1;

然后再向两边拓展 p[i] 长度 ;

这里写图片描述

上面的看懂了直接看代码就行，

下面是详细解释：

Manacher用于求解最长回文子串。所谓回文串，便是"abccba"或是斗鸡山上山鸡斗这一类的，你会发现从左到右和从右到左读都是同样的内容。而最长回文子串便是求出给定串中最长的那一个回文串。
在没了解Manacher之前，我们可以直接暴力枚举所有子串，时间复杂度O(n^3) ，也可以用聪明一点的方法，每次枚举一个点，比较它左右距离相同的点是否相同，时间复杂度O(n^2) 。

一：背景

给定一个字符串，求出其最长回文子串。例如：

s="abcd"，最长回文长度为 1；
s="ababa"，最长回文长度为 5；
s="abccb"，最长回文长度为 4，即bccb。
以上问题的传统思路大概是，遍历每一个字符，以该字符为中心向两边查找。其时间复杂度为O(n^2) ，效率很差。
1975年，一个叫Manacher的人发明了一个算法，Manacher算法（中文名：马拉车算法），该算法可以把时间复杂度提升到O(n) 。下面来看看马拉车算法是如何工作的。

二：算法过程分析

由于回文分为偶回文（比如 bccb）和奇回文（比如 bcacb），而在处理奇偶问题上会比较繁琐，所以这里我们使用一个技巧，具体做法是：在字符串首尾，及各字符间各插入一个字符（前提这个字符未出现在串里）。

举个例子：s="abbahopxpo"，转换为s_new="$#a#b#b#a#h#o#p#x#p#o#"（这里的字符 $ 只是为了防止越界，下面代码会有说明），如此，s 里起初有一个偶回文abba和一个奇回文opxpo，被转换为#a#b#b#a#和#o#p#x#p#o#,

在转换之后串的长度都转换成了奇数，所以都可以按照奇回文处理。

定义一个辅助数组int p[]，其中p[i]表示以 i 为中心的最长回文的半径，例如：

i	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
s_new[i]	$	#	a	#	b	#	b	#	a	#	h	#	o	#	p	#	x	#	p	#
p[i]		1	2	1	2	5	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	4	1	2	1

可以看出，p[i] - 1正好是原字符串中最长回文串的长度。
接下来的重点就是求解 p 数组，如下图：

这里写图片描述

设置两个变量，mx 和 id 。

mx 代表以 id 为中心的最长回文的右边界，也就是mx = id + p[id]。

假设我们现在求p[i]，也就是以 i 为中心的最长回文半径，如果i < mx，如上图，那么：

if (i < mx)
p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);

2 * id - i为 i 关于 id 的对称点，即上图的 j 点，而p[j]表示以 j 为中心的最长回文半径，因此我们可以利用p[j]来加快查找。

根据代码，此时p[i] = p[j]或p[i] = mx - i，并且p[i]还可以继续增加，所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]]) 
    p[i]++;

具体代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
char s[1000];
char s_new[2000];
int p[2000];

int Init()
{
    int len = strlen(s);
    s_new[0] = '$';
    s_new[1] = '#';
    int j = 2;

    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        s_new[j++] = s[i];
        s_new[j++] = '#';
    }

    s_new[j] = '\0';
    return j;     // 返回 s_new 的长度
}

int Manacher()
{
    int len = Init();  // 取得新字符串长度并完成向 s_new 的转换
    int max_len = -1;  // 最长回文长度

    int id;    int mx = 0;

    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        if (i < mx)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  // 需搞清楚上面那张图含义, mx 和 2*id-i 的含义
        else
            p[i] = 1;

        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  // 不需边界判断，因为左有'$',右有'\0'
            p[i]++;

        // 我们每走一步 i，都要和 mx 比较，我们希望 mx 尽可能的远，这样才能更有机会执行 if (i < mx)这句代码，从而提高效率
        if (mx < i + p[i])
        {
            id = i;
            mx = i + p[i];
        }

        max_len = max(max_len, p[i] - 1);
    }

    return max_len;
}

int main()
{
    while (printf("请输入字符串：\n"))
    {
        scanf("%s", s);
        printf("最长回文长度为 %d\n\n", Manacher());
    }
    return 0;
}