Description
你有一个010101序列,初始时序列为空。你可以对序列进行两种操作:
1.在序列末端插入一个000。
2.在序列中删去一个子序列,并在序列末端插入一个111。这里对子序列的选取有一定限制,设子序列中包含xxx个000,yyy个111,则你选取的子序列必须满足:
1.子序列不可为空,即x+y>0x+y>0x+y>0
2.当y>0y>0y>0时,x∈Ax\in Ax∈A,这里AAA为给定集合
3.当y=0y=0y=0时,x∈Bx\in Bx∈B,这里BBB为给定集合
现在,你需要对序列执行nnn次操作。请你求出在所有不同的操作方案中,最终序列长度为111的方案有多少种。两种操作方案被视为不同,当且仅当某一次操作的种类不同,或某个第二类操作中选取的子序列不同(子序列不同指的是位置不同,与值无关)。
Sample Input
4 1 1
1
1
Sample Output
3
一共有nnn次操作,每个操作新加一个点,所以总共有nnn个点。
设第iii次加入的点为sisisi,删除它的时候加入的点为它的父亲,于是就可以构成一棵树的结构,111是非叶节点,000是叶子节点。
于是就是让你求这样一棵树的方案数。
于是你考虑DPDPDP。
设f[i]f[i]f[i]为大小iii的合法的树的方案数,g[i]g[i]g[i]为大小iii的合法森林的方案数,可得转移:
f(n)=∑i∈ACn−1i−1g(n−i−1)+[n−1∈B]f(n)=\sum_{i\in A}C_{n-1}^{i-1}g(n-i-1)+[n-1\in B]f(n)=∑i∈ACn−1i−1g(n−i−1)+[n−1∈B]
g(n)=∑i=1n−1Cn−1i−1g(i)f(n−i)g(n)=\sum_{i=1}^{n-1}C_{n-1}^{i-1}g(i)f(n-i)g(n)=∑i=1n−1Cn−1i−1g(i)f(n−i)
于是你可以用分治NTT。
#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int _max(int x, int y) {return x > y ? x : y;}
int _min(int x, int y) {return x < y ? x : y;}
const LL mod = 998244353;
const int N = 120001;
int read() {
int s = 0, f = 1; char ch = getchar();
while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
while(ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
return s * f;
}
void put(int x) {
if(x >= 10) put(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n, alen, blen;
LL w1[N * 4], w2[N * 4];
LL f[N * 4], g[N * 4], hh[N], jc[N], inv[N];
LL A[N * 4], B[N * 4], C[N * 4], D[N * 4];
int R[4 * N];
LL pow_mod(LL a, int k) {
LL ans = 1;
while(k) {
if(k & 1) (ans *= a) %= mod;
(a *= a) %= mod; k /= 2;
} return ans;
}
void pre() {
jc[0] = inv[0] = 1; for(int i = 1; i <= n; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mod;
inv[n] = pow_mod(jc[n], mod - 2); for(int i = n - 1; i >= 1; i--) inv[i] = inv[i + 1] * (i + 1) % mod;
for(int i = 1; i < N * 4; i <<= 1) {
w1[i] = pow_mod(3, (mod - 1) / (i * 2));
w2[i] = pow_mod(w1[i], mod - 2);
}
}
void NTT(LL y[], int len, int on) {
for(int i = 0; i < len; i++) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) * (len >> 1));
for(int i = 0; i < len; i++) if(i < R[i]) swap(y[i], y[R[i]]);
for(int i = 1; i < len; i <<= 1) {
LL wn = w1[i]; if(on == -1) wn = w2[i];
for(int j = 0; j < len; j += i * 2) {
LL w = 1;
for(int k = 0; k < i; k++, (w *= wn) %= mod) {
LL u = y[j + k], v = y[j + k + i] * w % mod;
y[j + k] = (u + v) % mod, y[j + k + i] = (u - v + mod) % mod;
}
}
} if(on == -1) {
LL hh = pow_mod(len, mod - 2);
for(int i = 0; i < len; i++) y[i] = y[i] * hh % mod;
}
}
void solve(int l, int r){
if(l == r) {
if(l > 1) (g[l] += f[l] - f[1] * g[l - 1]) %= mod;
return ;
}
int mid = (l + r) / 2;
solve(l, mid);
int N = r - l, len = 1;
for(len = 1; len <= N; len <<= 1) ;
for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = B[i] = 0;
for(int i = 0; i <= r - l; i++) A[i] = hh[i];
for(int i = l; i <= mid; i++) B[i - l] = g[i] * inv[i] % mod;
NTT(A, len, 1), NTT(B, len, 1);
for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = A[i] * B[i] % mod;
NTT(A, len, -1);
for(int i = mid + 1; i <= r; i++) (f[i] += A[i - l - 1] * jc[i - 1]) %= mod;
if(l == 1) {
for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = 0;
for(int i = l; i <= mid; i++) A[i - 1] = f[i] * inv[i - 1] % mod;
NTT(A, len, 1);
for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = A[i] * B[i] % mod;
NTT(A, len, -1);
for(int i = mid + 1; i <= r; i++) (g[i] += A[i - l - 1] * jc[i - 1]) %= mod;
} else {
for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = C[i] = D[i] = 0;
for(int i = 1; i <= r - l; i++) A[i - 1] = f[i] * inv[i - 1] % mod, C[i - 1] = g[i] * inv[i] % mod;
for(int i = l; i <= mid; i++) D[i - l] = f[i] * inv[i - 1] % mod;
NTT(A, len, 1), NTT(C, len, 1), NTT(D, len, 1);
for(int i = 0; i < len; i++) A[i] = (A[i] * B[i] + C[i] * D[i]) % mod;
NTT(A, len, -1);
for(int i = mid + 1; i <= r; i++) (g[i] += A[i - l - 1] * jc[i - 1]) %= mod;
} solve(mid + 1, r);
}
int main() {
n = read(), alen = read(), blen = read(); pre();
for(int i = 1; i <= alen; i++) {
int x = read();
hh[x] = inv[x];
} for(int i = 1; i <= blen; i++) f[read() + 1] = 1;
f[0] = g[0] = 0; f[1] = 1; solve(1, n);
printf("%d\n", (f[n] + mod) % mod);
return 0;
}