codeforces 1063F String Journey dp+后缀数组

本文探讨了一种优化算法,用于解决字符串划分问题,旨在找到划分序列中元素的最大数量。通过分析字符串特性,提出了一种二分查找结合后缀数组和主席树的数据结构优化方案,将复杂度降低至O(nlogn)。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

Description
有一个长度为nnn的字符串sss。定义一种划分为kkk个字符串构成的序列tk{tk}tk,满足:
对于i>1i > 1i>1titititi−1ti−1ti1的子串。
s=u1t1u2t2⋅⋅⋅uktkuk+1s = u1t1u2t2 · · · uktkuk+1s=u1t1u2t2uktkuk+1,其中uiuiui是任意字符串,可以为空。
求所有划分中kkk最大是多少。


Sample Input
2
aa


Sample Output
1


首先让我们来考虑一些性质。
最优解情况下,ttt即字符串集合的长度肯定是递减的。
否则你可以给一个字符到相邻的uuu中。
一个答案于是可以由第一个位置iii,以及第一个字符串长度为jjj表示出来,因为我们不关心后面的东西。
于是你考虑设f[i][j]f[i][j]f[i][j]为以iii为第一个位置,以及第一个字符串长度为jjj是否存在,利用hashhashhash可以做到O(nn)O(n\sqrt n)O(nn)
太慢了,考虑优化。
我们可以简化一下状态,直接设f[i]f[i]f[i]为以iii开头的最长的jjj
那么你对于每一个iii考虑二分答案,每次二分一个长度jjj对应的就是后缀数组的一段区间,就是询问后面的某一段区间是否存在fff值大于等于j−1j-1j1的,用一个主席树可以实现。
复杂度为O(nlog2n)O(nlog^2n)O(nlog2n)
但其实可以做到O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)
其实你是可以轻松得到一个性质f[i]&lt;=f[i+1]+1f[i]&lt;=f[i+1]+1f[i]<=f[i+1]+1
于是你直接暴力搞就好了,因为fff值的总变化量不超过nnn


#include <ctime>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
int _max(int x, int y) {return x > y ? x : y;}
int _min(int x, int y) {return x < y ? x : y;}
int read() {
	int s = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') s = s * 10 + ch - '0', ch = getchar();
	return s * f;
}
void put(int x) {
	if(x >= 10) put(x / 10);
	putchar(x % 10 + '0');
}

struct tnode {
	int lc, rc, c;
} t[21 * 500010]; int cnt, rt[500010];
char ss[500010];
int n, m, sa[500010], yy[500010], height[500010], Rank[500010], tt[500010], Rsort[500010];
int st[20][500010], Log[500010], f[500010], bin[20];

void get_sa() {
	for(int i = 1; i <= n; i++) Rank[i] = ss[i] - 'a' + 1;
	
	memset(Rsort, 0, sizeof(Rsort));
	for(int i = 1; i <= n; i++) Rsort[Rank[i]]++;
	for(int i = 1; i <= m; i++) Rsort[i] += Rsort[i - 1];
	for(int i = n; i >= 1; i--) sa[Rsort[Rank[i]]--] = i;
	
	int ln = 1, p = 0;
	while(p < n) {
		int k = 0;
		for(int i = n - ln + 1; i <= n; i++) yy[++k] = i;
		for(int i = 1; i <= n; i++) if(sa[i] - ln > 0) {
			yy[++k] = sa[i] - ln;
		}
		
		memset(Rsort, 0, sizeof(Rsort));
		for(int i = 1; i <= n; i++) Rsort[Rank[yy[i]]]++;
		for(int i = 1; i <= m; i++) Rsort[i] += Rsort[i - 1];
		for(int i = n; i >= 1; i--) sa[Rsort[Rank[yy[i]]]--] = yy[i];
		
		for(int i = 1; i <= n; i++) tt[i] = Rank[i];
		p = 1; Rank[sa[1]] = 1;
		for(int i = 2; i <= n; i++) {
			if(tt[sa[i]] != tt[sa[i - 1]] || tt[sa[i] + ln] != tt[sa[i - 1] + ln]) p++;
			Rank[sa[i]] = p;
		} ln *= 2, m = p;
	}
}

int lcp(int l, int r) {
	l++;
	if(l > r) return n;
	int len = r - l + 1;
	return _min(st[Log[len]][l], st[Log[len]][r - bin[Log[len]] + 1]);
}

void get_height() {
	int k = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) {
		int j = sa[Rank[i] - 1];
		if(k) k--;
		while(ss[i + k] == ss[j + k]) ++k;
		height[Rank[i]] = k;
	} for(int i = 1; i <= n; i++) st[0][i] = height[i];
	Log[1] = 0; for(int i = 2; i <= n; i++) Log[i] = Log[i >> 1] + 1;
	bin[0] = 1; for(int i = 1; i <= 19; i++) bin[i] = bin[i - 1] * 2;
	for(int i = 1; bin[i] <= n; i++) {
		for(int j = 1; j <= n - bin[i] + 1; j++) {
			st[i][j] = _min(st[i - 1][j], st[i - 1][j + bin[i - 1]]);
		}
	}
}

void Link(int &u, int l, int r, int p, int c) {
	if(!u) u = ++cnt;
	t[u].c = _max(t[u].c, c);
	if(l == r) return ;
	int mid = (l + r) / 2;
	if(p <= mid) Link(t[u].lc, l, mid, p, c);
	else Link(t[u].rc, mid + 1, r, p, c);
}

void Merge(int &u1, int u2) {
	if(!u1 || !u2) {u1 = u1 + u2; return ;}
	t[u1].c = _max(t[u1].c, t[u2].c);
	Merge(t[u1].lc, t[u2].lc);
	Merge(t[u1].rc, t[u2].rc);
}

int getmx(int u, int l, int r, int ll, int rr) {
	if(l == ll && r == rr) return t[u].c;
	int mid = (l + r) / 2;
	if(rr <= mid) return getmx(t[u].lc, l, mid, ll, rr);
	else if(ll > mid) return getmx(t[u].rc, mid + 1, r, ll, rr);
	else return _max(getmx(t[u].lc, l, mid, ll, mid), getmx(t[u].rc, mid + 1, r, mid + 1, rr));
}

bool check(int x, int len) {
	int hh = Rank[x];
	int l = 1, r = hh, L = hh;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if(lcp(mid, hh) >= len - 1) r = mid - 1, L = mid;
		else l = mid + 1;
	} l = hh, r = n; int R = hh;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if(lcp(hh, mid) >= len - 1) l = mid + 1, R = mid;
		else r = mid - 1;
	} if(getmx(rt[x + len], 1, n, L, R) >= len - 1) return 1;
	hh = Rank[x + 1];
	l = 1, r = hh, L = hh;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if(lcp(mid, hh) >= len - 1) r = mid - 1, L = mid;
		else l = mid + 1;
	} l = hh, r = n, R = hh;
	while(l <= r) {
		int mid = (l + r) / 2;
		if(lcp(hh, mid) >= len - 1) l = mid + 1, R = mid;
		else r = mid - 1;
	} if(getmx(rt[x + len], 1, n, L, R) >= len - 1) return 1;
	return 0;
}

int main() {
	n = read();
	scanf("%s", ss + 1);
	m = 27; get_sa();
	get_height();
	f[n] = 1; Link(rt[n], 1, n, Rank[n], 1);
	for(int i = n - 1; i >= 1; i--) {
		f[i] = f[i + 1] + 1;
		while(f[i] && !check(i, f[i])) --f[i];
		Link(rt[i], 1, n, Rank[i], f[i]);
		Merge(rt[i], rt[i + 1]);
	} int ans = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i++) ans = _max(ans, f[i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}

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