求逆元的方法 C++

逆元是指在模运算中，一个数a在模m下的逆元是指存在一个数b，使得(a*b)mod m = 1。具体而言，对于一个数a，如果存在另一个数b，使得ab=1，那么b就是a的逆元.

求逆元的常用方法有以下几种：

1. 扩展欧几里得算法：扩展欧几里得算法可以求解线性同余方程ax ≡ 1 (mod m)，其中a和m互质。这个算法的优点是可以求解任意数的逆元，而不仅限于素数。缺点是实现稍微复杂一些，需要用到辗转相除法和回溯法，时间复杂度为O(log(m))。

2. Fermat小定理：Fermat小定理是说，如果p是一个素数，a是p的倍数，那么(a^p) ≡ a (mod p)。根据Fermat小定理，如果m是一个素数，那么对于任意不是m的倍数的a，有(a^(m-1)) ≡ 1 (mod m)。根据这个性质，可以求解模m下的逆元。优点是算法简单，只需要进行一次幂运算，时间复杂度为O(log(m))。缺点是只适用于模数是素数的情况。

3. 快速幂算法：快速幂算法可以在O(log(m))的时间内求解a^bmod m的值。通过使用快速幂算法，可以将求逆元问题转化为求a^(m-2)mod m的问题，从而得到逆元。这种方法适用于仅限于素数的模数m。优点是算法简单，时间复杂度为O(log(m))。缺点是需要额外的空间来存储临时变量。

 1.递推求逆元

ll int ny[n + 1];
ny[1] = 1;
for (inty i = 2; i <= n; i++)
{
   ny[i] = (ll)(p - p / i) * ny[p % i] % p;
}

2.当模数p为质数时,a的(p-2)次方为a的逆元

long long ksm(long long a, long long b, long long p)
{
    long long res = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = res * a % p;
        a = a * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
ny[1] = 1;
for (int i = 2; i <= 200000; i++)
{
    ny[i] = (ll)qm(i, mod - 2, mod) % mod;
}

3.拓展欧里基德

ll x, y;
void gcd(ll a, ll b)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return;
    }
    gcd(b, a % b);
    ll temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
    return;
}
cout << (x + b) % b << endl;

x,y的值为同余方程(ax+by=gcd(a,b)=1)的值 ,逆元的值为(x+mod)%mod;