C++逆元详解

引入

通常情况下，模运算有加法、乘法，减法的分配率，即：
$(a+b)\%m=(a\%m+b\%m)\%m$
$(a-b)\%m=(a\%m-b\%m)\%m$
$(a\times b)\%m=(a\%m\times b\%m)\%m$
（模运算为最高级运算，负数不考虑= =）
但是有除法怎么办？显然$\dfrac{a}{b}\%m≠\dfrac{a\%m}{b\%m}$，需要用逆元将其变为乘法，然后使用分配率。

逆元

概念

若$ab≡1\ (mod\ m)$,则称$a$与$b$在模$m$的情况下互为逆元。
记$b=a^{-1}$，所以$b$又叫$a$的数论倒数。

求逆元

需要用到费马小定理：若$p$为质数（显然$a$与$p$互质），则$a^{p-1}≡1\ (mod\ p)$，所以$a^{p-2}$就是$a$在模$p$的情况下的一个逆元，由模乘法的分配率得$a^{p-2}\%m$也是$a$的一个逆元，用快速幂求得即可（一般题目中的模数都是质数）。

用法

设$c=b^{-1}$，则$bc\%m=1$（$m$不可能为$1$），所以有：

$$\dfrac{a}{b}\%m=\dfrac{a}{b}*1\%m=\dfrac{a}{b}\times bc\%m=ac\%m=a·b^{-1}\%m$$
求出 的逆元就能处理模运算中的除法了。

例题

AtCoder - 1974·いろはちゃんとマス目 / Iroha and a Grid