BZOJ 4204 取球游戏循环矩阵优化期望递推

最新推荐文章于 2019-02-20 22:01:00 发布

wzq_QwQ

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分类专栏： Dynamic Programming BZOJ刷题录文章标签：优化游戏

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本文讨论了如何通过循环矩阵优化实现期望递推算法的高效计算，将复杂度从n^3log降低到n^2log，适用于特定类型的矩阵幂运算场景。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意:链接

方法:循环矩阵优化期望递推。

解析:

这题递推没啥，主要是循环矩阵优化

我们发现，如果直接上矩阵优化的话是n^3log，所以铁定是过不了了的，然后再观察一下这道题我们要求幂的矩阵，发现他是这种形式

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

每一行都是上一行向右窜了一位

所以我们可以用一个一维数组代表这个循环矩阵

并且循环矩阵求和，乘积还是循环矩阵

所以我们就可以用循环矩阵来优化掉一个n

复杂度即变为了n^2log 可过。

代码:

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define N 1010
using namespace std;
int n,m,k;
int a[N];

struct Matrix
{
    double map[N];
};
Matrix ori;
Matrix bas;
Matrix bask;
Matrix ans; 
Matrix c;
// f[i][j]表示第i次拿出标号为j的球的期望
// f[i][j]=f[i-1][j]+1/m*f[i-1][j-1]-1/m*f[i-1][j];
Matrix mul(Matrix a,Matrix b)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        c.map[i]=0;
        for(int j=1;j<=n;j++)
        {
            c.map[i]+=a.map[j]*b.map[(i-j+n+1)%n==0?n:(i-j+n+1)%n];
        }
    }
    return c;
}
Matrix quick_my(Matrix a,int y)
{
    Matrix ret;
    memset(ret.map,0,sizeof(ret.map));
    ret.map[1]=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        {
            ret=mul(ret,a);
        }
        a=mul(a,a);
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)ori.map[i]=(double)a[i];
    bas.map[1]=(double)(m-1)/(double)m;
    bas.map[2]=1.0/(double)m;
    bask=quick_my(bas,k);
    ans=mul(ori,bask);
    for(int i=1;i<=n;i++)printf("%.3lf\n",ans.map[i]);
}