算法题目:A为矩阵,求S(n)=A^1+A^2+...+A^n 小技巧

最新推荐文章于 2024-07-31 16:04:21 发布

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定问题的方法，通过二分求和的方式优化了求矩阵A及其幂次之和的过程，并针对不同情况（奇数或偶数次幂）提供了具体的实现思路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

解题思路：

第一种方法：

题意为给定矩阵A，以及k, mod ,求 A+A^2+A^3+......A^k 的和对mod取余。

一开始用循环k次，递推的做法，超时。。。

看了解题报告，求和的时候要用到二分求和。

所求的和用s(k)表示。

当k为偶数时：

比如 k=6,那么 A+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6= A+A^2+A^3+ A^3*（A+A^2+A^3）

s(k)=s(k/2)+A^(n/2) * s(k/2) 即s(k)=(E+A^(n/2))*s(n/2) （E为单位矩阵）

当k为奇数时：

s(k)=s(k-1)+A^k , 那么k-1为偶数，可以按照上面的二分

matrix call(matrix A,int k)  
{  
    if(k==1) return A;  
    if(k&1)  
        return addmatrix(call(A,k-1),powmatrix(A,k));//当k为奇数时，减1变为偶数 S(K)=S(K-1)+A^K  
    else  
        return mulmatrix(addmatrix(powematrix(A,0),powmatrix(A,k>>1)),call(A,k>>1));  
        //当K为偶数时,S(K)=(1+A^(K/2))*S(K/2)  
}