二分&三分_二分和三分-优快云博客

本文介绍了三分法搜索的基本原理及其在双调函数中的应用。三分法适用于寻找双调函数极值的问题，通过对区间进行划分，逐步缩小搜索范围直至找到最优解。文章详细解释了判断条件及更新搜索区间的具体步骤，并提供了两种实现方式。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二分比较的熟悉了，这里就指出ta的必要条件：

答案具有单调性
已知答案的情况下，可以判定答案的可行性

我们的重点是三分

如果说二分针对的是单调函数，那么三分针对的是双调函数
比如求点到椭圆的最近距离的题目，就可以通过三分一次次的逼近

双调函数也就是下面这样的函数
这里写图片描述
具体步骤和二分大同小异：

当 $f(M_1) < f(M_2)$ 的时候，我们可以断定 $M_1$ 一定在最高点（蓝点）的左边
反证法：
假设 $M_1$ 在白点的右边，则 $M_2$ 也一定在白点的右边
又由 $f(M_1) < f(M_2)$ 可推出 $M_1 > M_2$ ，与已知矛盾，故假设不成立
此时可以将 $l = M_1$ 来缩小范围
当 $f(M_1) > f(M_2)$ 的时候，我们可以断定 $M_2$ 一定在蓝点的右边
反证法：
假设 $M_2$ 在白点的左边，则 $M_1$ 也一定在白点的左边
又由 $f(M_1) > f(M_2)$ 可推出 $M_2 < M_1$ ，与已知矛盾，故假设不成立
此时可以将 $r=M_2$ 来缩小范围。

在具体实现的时候有两种方法：

int three_divide(int l,int r)
{
    while (l<r-1)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        int mmid=(mid+r)>>1;
        if (f(mid)>f(mmid))
            r=mmid;
        else l=mid;
    }
    return f(l)>f(r)? l:r;
}

double three_divide(double l,double r)
{
    double m1,m2;
    while (r-l>=eps)
    {
        m1=l+(r-l)/3;
        mr=r-(r-l)/3;
        if (f(m1)>f(m2))
            r=m2;
        else l=m1;
    }
    return (m1+m2)/2;
}

下面是下凸函数的三分查询：
这里写图片描述

int three_divide(int l,int r)
{
    while (l<r-1)
    {
        int mid=(l+r)>>1;
        int mmid=(mid+r)>>1;
        if (f(mid)>f(mmid))
           l=mid;
        else r=mmid;
    }
    return f(l)>f(r)? r:l;
}

double three_divide(double l,double r)
{
    double m1,m2;
    while (r-l>=eps)
    {
        m1=l+(r-l)/3;
        m2=r-(r-l)/3;
        if (f(m1)>f(m2))
           l=m1;
        else r=m2;
    }
    return (m1+m2)/2;
}