ccf_最大矩形

问题描述

　　在横轴上放了n个相邻的矩形，每个矩形的宽度是1，而第i（1 ≤ i ≤ n）个矩形的高度是hi。这n个矩形构成了一个直方图。例如，下图中六个矩形的高度就分别是3, 1, 6, 5, 2, 3。



　　请找出能放在给定直方图里面积最大的矩形，它的边要与坐标轴平行。对于上面给出的例子，最大矩形如下图所示的阴影部分，面积是10。

输入格式

　　第一行包含一个整数n，即矩形的数量(1 ≤ n ≤ 1000)。
　　第二行包含n 个整数h1, h2, … , hn，相邻的数之间由空格分隔。(1 ≤ hi ≤ 10000)。hi是第i个矩形的高度。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，即给定直方图内的最大矩形的面积。

样例输入

6
3 1 6 5 2 3

样例输出

10

本题采用单调栈算法
记以第i个矩形的高构成一个直方图最大面积为Si；
方法1:  暴力法,第i个高度Hi[i]为矩形的高,往两边扩展求面积最值. 时间复杂度o(n^2)
方法2:  假设：n>i>1,j = 1|2|..|i-1,k = i+1|i+2|..|n，且Hi[j] < Hi[i] ,Hi[k] < Hi[i] Hi[j+1..k-1] <= Hi[i];
            那么: Si = (k - j - 1)*Hi[i];
            若用暴力法，从i开始向两边搜索，得到 j,k，从而求得最大值Si.但仔细想一想，对每一个Hi[i],不必每次暴力
            搜索，只需维护一个栈内矩形高度单调递增的栈，那么只需一次循环即可获得面积最值。
            举例说明:
                3 1 6 5 栈Stack为空(Stack只存矩形序号,top为指针)，Lr[i]=k表示第i个矩形能与最左边第k个矩形构成直方图（k<=i且直方图的高为Hi[i]）  
                i = 1时 Stack ={1} Lr[i] = 1;
                i = 2时 栈顶Hi[2]小于Hi[i],1出栈,2入栈.第1个矩形不能其它矩形构成直方图 则 S1 = hi[1]*(Stack[top-1]-Lr[Stack[top-1]]+1); Stack={2} lr[2] = lr[1](因为Hi[2] < Hi[1]
                故Lr[2] == lr[1])
                i = 3时 Hi[3]大于Hi[2],3进栈.Stack={2,3},lr[3] = 3(不能向左扩展构成图)
                i = 4时 Hi[4]小于Hi[3],3出栈,4进栈，同理第二步骤S3 = Hi[3]*(Stack[top-1]-Lr[Stack[top-1]]+1);Stack={2,4};Lr[i] = Lr[Stack[top-1]];
                循环结束:
                    此时栈内 Stack ={2,4};
                    S2 = Hi[Stack[0]]*(Stack[1] - Lr[Stack[0]] + 1);
                    S4 = Hi[Stack[1]]*(Stack[1] - Lr[Stack[1]] + 1);
                综上 Smax = S4 = 10
            小结：维护一个递增序列，则可省去暴力搜索右边矩形高度最先小于当前矩形高度。
                  而即将入栈的值，小于堆栈值，则弹出这些值即可以维护Lr[now] = Stack[i](Hi[Stack[i-1]] < Hi[now] && Hi[Stack[i]]>Hi[now])
                  即可在线性时间完成最值求取

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1005;
int hi[maxn],lr[maxn],Stack[maxn];
int main()
{
    int n,top = 0,ma = 0;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&hi[i]);
        lr[i] = i; /// 初始第i个矩阵能扩展到最左边为本身
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(i == 1) Stack[top++] = i;
        else{
            int l = top - 1;
            while(hi[i] < hi[Stack[l]]) /// 小于栈顶那个高度，弹出一部分数
            {
                ma = max(ma,(Stack[top-1]-lr[Stack[l]]+1)*hi[Stack[l]]);
                l--;
                if(l == -1) break; // 到栈底
            }
            if(l != top - 1){
                lr[i] = lr[Stack[l+1]]; // Hi[i] < Hi[Stack[l+1]] 故lr[i] == lr[Stack[l+1]]
                Stack[l+1] = i;
                top = l+2;
            }
            else Stack[top++] = i;
        }
    }
    for(int i=0;i<top;i++)
        ma = max(ma,(Stack[top-1]- lr[Stack[i]] + 1)*hi[Stack[i]]);
    printf("%d\n",ma);
    return 0;
}