1277. 统计全为 1 的正方形子矩阵 leetcode

给你一个 m * n 的矩阵,矩阵中的元素不是 0 就是 1,请你统计并返回其中完全由 1 组成的 正方形 子矩阵的个数。

 

示例 1:

输入:matrix =
[
  [0,1,1,1],
  [1,1,1,1],
  [0,1,1,1]
]
输出:15
解释: 
边长为 1 的正方形有 10 个。
边长为 2 的正方形有 4 个。
边长为 3 的正方形有 1 个。
正方形的总数 = 10 + 4 + 1 = 15.
示例 2:

输入:matrix = 
[
  [1,0,1],
  [1,1,0],
  [1,1,0]
]
输出:7
解释:
边长为 1 的正方形有 6 个。 
边长为 2 的正方形有 1 个。
正方形的总数 = 6 + 1 = 7.
 

提示:

1 <= arr.length <= 300
1 <= arr[0].length <= 300
0 <= arr[i][j] <= 1


来源:力扣(LeetCode)
链接:https://leetcode-cn.com/problems/count-square-submatrices-with-all-ones
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class Solution {
    public int countSquares(int[][] matrix) {
        int cnt = 0;
        int[] dp_cur = new int[matrix[0].length];
        int[] dp_pre = new int[matrix[0].length];
        for(int i = 0;i<matrix[0].length;i++){
            dp_pre[i] = matrix[0][i];
            cnt+=matrix[0][i];
        }
        for(int i=1;i<matrix.length;i++){
            dp_cur[0] = matrix[i][0];
            cnt += dp_cur[0];
            for(int j=1 ;j<matrix[0].length;j++){
                if(matrix[i][j]==1){
                    dp_cur[j] = min(dp_cur[j-1],dp_pre[j],dp_pre[j-1])+1;
                }
                else{
                    dp_cur[j] = 0;
                }
                cnt+=dp_cur[j];
            }
            int[] tmp = dp_cur;
            dp_cur = dp_pre;
            dp_pre = tmp;
        }
        return cnt;
    }
    public int min(int a,int b,int c){
        int value = Math.min(a,b);
        return Math.min(value,c);
    }
}

 

### 蓝桥杯统计子矩阵的算法与解题思路 #### 1. 问题概述 蓝桥杯中的“统计子矩阵”问题是经典的动态规划和优化问题之一。题目要求在一个 \(N \times M\) 的矩阵中找到所有可能的子矩阵,这些子矩阵的元素总和不超过给定阈值 \(K\)。 #### 2. 解题方法分析 ##### 方法一:二维前缀和(超时) 通过构建二维前缀和数组来快速计算任意子矩阵的和。设 `prefix[i][j]` 表示从左上角 `(0, 0)` 到右下角 `(i, j)` 子矩阵的元素和,则可以通过如下公式计算: \[ \text{sum}(x_1, y_1, x_2, y_2) = prefix[x_2][y_2] - prefix[x_1-1][y_2] - prefix[x_2][y_1-1] + prefix[x_1-1][y_1-1] \] 这种方法的时间复杂度为 \(O(N^2M^2)\),对于较大的数据规模会超出时间限制[^1]。 ##### 方法二:二维前缀和 + 双指针(AC) 为了降低时间复杂度,可以采用压缩维度的思想。具体步骤如下: 1. **固定上下边界**:枚举两个行号作为子矩阵的上下边界。 2. **按列累加**:将选定范围内的每一列视为一个新的序列,利用一维前缀和加速求和过程。 3. **双指针优化**:在一维序列中应用滑动窗口技术,寻找符合条件的最大连续子段。 此方法的核心在于减少不必要的重复计算,其时间复杂度降为 \(O(N^2M)\)[^2]。 ```python def count_submatrices(matrix, k): n, m = len(matrix), len(matrix[0]) result = 0 for top in range(n): # 枚举上边界 row_sum = [0] * m for bottom in range(top, n): # 枚举下边界 for col in range(m): # 累加当前范围内每列的和 row_sum[col] += matrix[bottom][col] # 使用双指针查找满足条件的子矩阵 current_sum = 0 start = 0 for end in range(m): current_sum += row_sum[end] while start <= end and current_sum > k: current_sum -= row_sum[start] start += 1 if current_sum <= k: result += (end - start + 1) return result ``` 上述代码实现了基于二维前缀和与双指针的方法,能够高效解决该问题[^3]。 #### 3. 单调队列的应用 另一种更高级的技术是使用单调队列处理区间最值问题。首先针对每一行分别预处理出所有区间的最大/最小值,再扩展到整个矩阵的高度方向。最终得到的结果即为所有合法子矩阵的数量[^5]。 --- ###
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