【分枝割平面法是什么？】

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于 2025-03-03 22:05:33 发布

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分类专栏：算法文章标签：算法

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分枝割平面法是什么？请详细进行解释

分枝割平面法（Branch-and-Cut, B&C）详解

1. 概述

分枝割平面法（Branch-and-Cut，简称 B&C）是一种用于求解**整数规划（IP）和混合整数线性规划（MILP）的强大优化方法。

它结合了分枝定界法（Branch-and-Bound, B&B）和割平面法（Cutting Plane Method）**的优点，使得在求解整数优化问题时更加高效。

分枝定界法（B&B） 通过递归分解搜索空间来寻找最优解，但可能导致搜索树过大，计算量过高。
割平面法（Cutting Plane Method） 通过添加线性不等式（割平面）缩小可行解空间，提高求解效率。
分枝割平面法（Branch-and-Cut） 结合两者的优势，在分枝定界过程中动态添加割平面，减少不必要的分支，从而提高求解效率。

2. 算法核心思想

分枝割平面法的基本流程

松弛求解（LP Relaxation）
- 先忽略整数约束，求解 LP 松弛问题（即允许整数变量取连续值）。
- 若解是整数解，则它就是最优解，算法结束。
- 若解是非整数解，则进入割平面法步骤。
割平面生成（Cutting Plane Generation）
- 检查当前 LP 松弛解是否违反整数性。
- 若违反，则构造额外的割平面（Cutting Plane），即新的线性约束，使得该解不再属于可行解空间，同时不丢弃所有整数解。
- 重新求解加入割平面的 LP 问题。
分枝定界（Branch-and-Bound, B&B）
- 如果添加割平面后仍然得不到整数解，则进行分枝，将问题拆分为多个更小的子问题。
- 继续求解子问题的 LP 松弛问题，并重复前面的步骤（即继续使用割平面）。
- 通过上界剪枝、下界剪枝、可行性剪枝减少搜索空间。
迭代进行，直至找到整数最优解
- 过程中不断添加割平面，使得整数解空间逐渐逼近最优解。
- 如果某个分支的解已经是整数解，且比当前最优解更优，则更新最优解。
- 若所有分支都已搜索完毕，则找到全局最优整数解。

3. 分枝割平面法的数学描述

假设要求解以下整数规划问题：

步骤 1：求解 LP 松弛问题

先去掉整数约束，求解 LP 松弛：

得到 LP 松弛解 $x^*$ 。
若 $x^*$ 已为整数解，则最优解为 $x^*$ ，结束。
若 $x^*$ 含有非整数变量，则进入割平面阶段。

步骤 2：生成割平面

如果发现x^*不是整数，则寻找一个割平面（Cutting Plane）：
- 这个不等式排除当前 LP 解，但不排除所有整数解。
- 重新求解带有新割平面的 LP 问题。
如果新解仍然是非整数解，则继续添加割平面，直到：
- 得到整数解，或
- 割平面不能再改进解，则进入分枝阶段。

步骤 3：分枝（Branching）

选择一个非整数变量 x_i，创建两个子问题：
- 左分支：添加约束。
- 右分支：添加约束 $x_i \geq \lceil x_i^* \rceil$ 。
在每个分支内，重复割平面法，动态添加割平面，进一步缩小搜索空间。

步骤 4：剪枝（Bounding & Pruning）

上界剪枝（如果当前解比已知最优解更差，则丢弃）。
下界剪枝（如果某个分支的 LP 松弛解不能改进当前最优解，则不再深入搜索）。
可行性剪枝（如果某个子问题的约束不可行，则直接丢弃）。

步骤 5：终止条件

当所有分支都搜索完毕，或者已经找到全局最优整数解，算法终止。

4. 经典割平面类型

在分枝割平面法中，最常用的割平面包括：

Gomory 割平面（适用于一般整数规划）
Chvátal-Gomory 割平面（基于整数线性组合）
0-1 割平面（适用于 0-1 整数规划）
Lift-and-Project 割平面（更紧的割平面，提高求解效率）

5. 分枝割平面法 vs 其他方法

方法	适用问题	计算效率	主要特点
分枝定界法（B&B）	IP, MILP	适中	递归分解搜索空间，可能搜索树过大
割平面法	IP, MILP	适中	通过额外不等式缩小解空间，可能需要较多割平面
分枝割平面法（B&C）	IP, MILP	高	结合 B&B 和 Cutting Plane，提高效率