整数规划-割平面法

谨以此博客作为学习期间的记录。

割平面法思想

在之前，梳理了分支定界法的流程:分支定界法
除了分支定界法，割平面法也是求解整数规划的另一个利器。
我们已经知道，线性规划的可行域是一个凸集，而最优点将会在凸集的某个顶点处取到。而如果凸集的顶点都是整数点，那这样的话只要使用单纯形法即可求得整数最优解。

就像下图的凸包所示，在实际情况中，线性规划的可行域往往交点都不在整数点处，如果能找到整数点的一个凸包，那整数规划问题即可转化为普通的线性规划问题。但是想找到这样的一个凸包是非常困难的，只能使用某种方法去不断的逼近这个凸包。

这就是割平面法的思想：不断地向原问题中添加约束去逼近这个整数凸包，从而使得解出来的解为整数解。

Gomory’s割平面法原理

在上面提到了，通过不断添加约束去逼近一个整数凸包，那么该如何去添加约束呢？也就是如何确定割平面这是本部分的重点。
确定割平面的算法有很多，暂时先以较为基础的Gomory’s 分数割平面算法介绍，后续如果用到更多其他割平面再进行补充。
先看一个标准整数规划问题
$$\begin{array}{rl}min& {\mathbf{c}}^T\mathbf{x}\\ s.t.& \{\begin{array}{l}\mathbf{Ax}=\mathbf{b}\\ \mathbf{x}\ge 0\\ \mathbf{x}\in {\mathbb{Z}}^n\end{array}\end{array}$$

当使用单纯形法求解整数规划问题时，可以将问题划分为基变量（Basic Variables）和非基变量（Non-Basic Variables）。在标准形式的整数规划问题中，可以进行如下的续写：
令基变量为 ${\mathbf{x}}_B$，非基变量为 ${\mathbf{x}}_N$。整数规划问题可以表示为：
$$\min {\mathbf{c}}^T\mathbf{x}={\mathbf{c}}_B^T{\mathbf{x}}_B+{\mathbf{c}}_N^T{\mathbf{x}}_N$$
约束条件：
$$\begin{array}{rl}\mathbf{B}{\mathbf{x}}_B+\mathbf{N}{\mathbf{x}}_N& =\mathbf{b}\\ {\mathbf{x}}_B,{\mathbf{x}}_N& \ge 0\\ \mathbf{x}& \in {\mathbb{Z}}^n\end{array}$$
其中：

• ${\mathbf{c}}^T=[{\mathbf{c}}_B^T,{\mathbf{c}}_N^T]$ 是目标函数的系数向量，${\mathbf{c}}_B$ 对应基变量的系数，${\mathbf{c}}_N$ 对应非基变量的系数。
• $\mathbf{B}$ 和 $\mathbf{N}$ 分别是基变量和非基变量对应的约束矩阵的子矩阵。
• ${\mathbf{x}}_B$ 和 ${\mathbf{x}}_N$ 分别是基变量和非基变量向量。

现在将整数约束松弛掉，使用单纯形法进行求解，多次迭代后模型收敛。收敛后的问题可以表述如下:

$\min f_0+{\mathbf{c}}_N^T{\mathbf{x}}_N$
约束条件：
$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_B+{\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{N}{\mathbf{x}}_N& ={\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{b}\\ {\mathbf{x}}_B,{\mathbf{x}}_N& \ge 0\end{array}$$
其中$f_0={\mathbf{c}}_B^T{\mathbf{x}}_B$在求解之后为一个常数。
那么将上述约束变形即可得到${\mathbf{x}}_B+\lfloor {\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{N}\rfloor {\mathbf{x}}_N\le \lfloor {\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{b}\rfloor$将其与原约束相减可以得到
$$({\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{N}-\lfloor {\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{N}\rfloor ){\mathbf{x}}_N\ge {\mathbf{B}}^{-1}\mathbf{b}-\lfloor {\mathbf{B}}^{-}$$