79、代数结构与同调理论中的关键定理及构造

代数结构与同调理论中的关键定理及构造

在代数结构与同调理论的研究中，有许多重要的定理和构造方法，它们对于理解和分析代数对象的性质起着至关重要的作用。下面将详细介绍这些内容。

1. 定理 1 相关证明

在某些条件下，$g_1$ 和 $g_2$ 定义了相同的从 $H^ (M)$ 到 $H^ (M’)$ 的映射。为了证明某个结论，关键在于证明某些元素的存在性。当确定了元素 $s(m_i) = n_i$ 后，为了使 $s$ 满足特定条件（5.2）、（5.3）和（5.4），需要满足以下两个条件：
- 条件（i）：$n_i$ 是齐次的，其度数等于 $m_i$ 的度数加 1。
- 条件（ii）：$d’n_i = g_i(m_i) - g_2(m_i) - s(dm_i)$，其中 $s(dm_i)$ 通过公式（5.5）计算。

这些必要条件也是充分的。为了选择满足条件（i）和（ii）的 $n_i$，我们采用对 $m_i$ 的度数进行递归的方法。假设已经为度数小于 $k$（$k \geq 0$）的 $m_i$ 选择了相应的 $n’$，并通过公式（5.5）在子模 $\sum_{h<k} M_h$ 上定义了 $s$，此时 $s$ 在 $\sum_{h<k} M_h$ 上满足（5.3）。对于度数为 $k$ 的 $m_i$，我们寻找度数为 $k + 1$ 的 $n_i$，使其满足条件（ii），其中条件（ii）的右边 $v_i$ 已经已知。当 $k = 0$ 时，验证 $\eta’(v_0) = 0$；当 $k \geq 1$ 时，验证 $d’v_k = 0$。在这两种情况下，$M’$ 的非循环性证明了所需元素 $n_i$ 的存在性，从而完成了定理 1 的